三角函數13
如果有一個「質點」能夠沿著座標線規律地運動，那麼這個點的運動稱為簡單的「和諧運動」。假設這個質點，在時間長度t之內，從原點（零）起算的移動距離是d，那麼
d＝asinwt or d＝a coswt
註：a和w是實數，並且w＞0。
這顆質點移動的振幅是︱a︱。
質點和諧運動的週期是2π/w，頻率是w/2π
n 翻譯編寫Ron Larson and David C. Falvo《Algebra and Trigonometry》；圖片來源／Mapsofworld、Goobas、Lawsofwisdom、Freepik、Awakeningtoreality、Catalog、Acm、Mnn
Pachelbel's Canon
徐弘毅：
1. 海洋是由無數的分子構成，分子有質量、有動能，彼此不停地碰撞活動，並且海洋的分子們被地球引力控制，被不停地自轉與公轉的地球拉著跑，這麼多股力量牽引之下，海洋無法完全靜止，海面上總是大大小小的波浪。
2. 海浪，以海平面為平衡基準線上下起伏，海浪從海平面出發，往上衝高成凸起的高浪，接著往下墜落，抵達海平面高度，再繼續往下探，成為凹下的低潮，然後又反彈回海平面的高度，如此週而復始。
3. 如果海浪一波又一波的高峰與低谷，振幅與波長都十分規律，那麼，這些海浪就是再進行上一節我們談到彈簧的「和諧運動」。
4. 彈簧的和諧運動與海浪波動的對比：彈簧懸掛的球（海浪的某一顆分子），從平衡位置（海平面）往上彈到至高點（海浪波峰），再往下回到平衡位置（海平面），繼續往下彈到最低點（凹下的低潮），然後再往上彈回平衡位置（海平面）……，如此規律地週而復始。
和諧運動Harmonic oscillation HD
5. 電子圍繞原子核的運動也是波狀的和諧運動。如果把電子看成是一顆粒子，那麼這顆粒子在三度空間中旋轉前進的軌跡，壓縮到一個平面上觀察，就像規律地上下起伏的海浪。
6. 龍捲風、熱帶氣旋也是一種「波」。充滿動能的氣體分子圍繞龍捲風或颱風的中心軸旋轉，時而捲入、時而外翻，盤旋而上。
7. 龍捲風的熱帶氣旋的中心垂直軸就是能量的平衡位置，充滿動能的氣體粒子一下子捲到中心垂直軸左邊（波谷），一下子捲到中心垂直軸右邊（波峰），週而復始，盤旋而上。熱帶氣旋的氣體粒子的行進軌跡就是一道垂直往上衝的波。
8. 如果把電子看成是電子雲，而非完整一顆粒子，那麼，那麼電子雲就像龍捲風或熱帶氣旋一樣，包圍著環狀軌道中心軸旋轉往前推進，襲捲而去，一圈又一圈規律地重複。
9. 當電子雲在三度空間的氣旋運動壓縮到一個平面上觀察，電子雲所包圍的軌道中心軸就是橫的x軸線，這也是平衡位置，電子雲最遠離原子核的頂點就是波峰，電子雲最靠近原子核的頂點就是波谷。由於圍繞原子核的電子雲的旋轉是規律的，因此反映電子雲的波也是規律的和諧運動。
10. 接下來，我們要詳細解釋，在三度空間中電子雲或電子圍繞軌道軸心旋轉的運動，如何轉化壓扁成笛卡爾座標上的波？
11. 首先，我們要切割環狀電子軌道，就像切環狀雞蛋糕那樣割出一塊一塊的蛋糕切片；在每一個電子軌域的切面上，可以清楚看到電子圍繞著軸心轉一圈。
12. 笛卡爾座標的x軸象徵電子圍繞的軌道軸心，當電子的位置正好在x軸線上時，電子處於「原子核吸引電子的引力」與「電子想要脫離原子核的直線運動慣性」這二股力量的平衡位置，這裡的的位能是0。
13. 那麼往右延伸的x軸線又代表什麼呢？往右延伸的x軸線代表電子隨著時間沿著軌道直軸心往前移動，由於電子是用旋轉的方式往前移動，因此x軸線上的刻度就是電子旋轉的角度，在這裡我們用弧度來標示角度。
14. 電子每旋轉一個角度，都可以在x軸線上找到相對應的點，並且電子在每一個角度的位置與軸心平衡位置之間的距離（位能差距），也可以在y軸線上找到相對應的點，象徵電子角度與位置的x,y交會點，就是電子波動過程的某一個點。
15. 當電子沿著軌道軸心旋轉的每一個位置標示在笛卡爾座標上，就會得到一條上下規律起伏的波形。
16. 再說明一次，曲線上每一個點與x軸的距離，代表三度空間中不同時間點的電子與中心軸（平衡位置）之間的距離d，距離d也象徵不同時間點下，不同位置的電子的位能。wt是電子旋轉的角度，a是電子與中心軸之間的半徑距離。
17. 「asinwt」是什麼意思呢？從電子的位置，往軸心畫一條直線，這條直線就是電子公轉軌域圓圈的半徑a，a也是電子上下震盪的振幅；從電子的位置，往平衡位置的橫軸畫一條垂直線，這條垂直線的距離就是d。
18. 軸心、電子，以及平衡橫軸與電子往下垂直軸交會點，這3個點構成一個在電子環狀軌域內的直角三角形，這個直角三角形位於軸心的銳角角度是wt，「sinwt」是直角三角形的「對邊/斜邊」的比例值，也就是「電子目前位置與平衡位置之間的距離d/半徑a」的比例值。
19. 因此a sin wt＝a×(d/a)＝d，最後得到的節果d是電子目前位置與平衡位置之間的距離，也是電子的位能，因為電子在這個位置並沒有達到平衡，勢必會移動以取得平衡。
20. 如果是求「a cos wt」的距離d，那是用橫軸尋找電子與軸心垂直線之間的距離（位能），也就是把軸心垂直線當成平衡位置，比較電子左右擺盪的情況。電子是在旋轉中前進，不論用橫剖面還是用縱剖面分析振幅，意義都是一樣，都是將三度空間中立體的運動壓扁成平面觀察。
21. 在x軸線上的每一個點代表電子旋轉的角度（用弧度表示），「wt」的t代表時間，也就是電子在不同的時間點，w是將電子移動耗費的時間換算成角度的比例值，這是電子每單位時間（秒）移動的角度。
22. 所以，電子旋轉一周的角度2π÷角度與時間的換算比例值w，就得到電子移動一周的時間，也就是電子波狀運動的週期：2π/w＝period。
23. 電子每秒移動的角度w÷電子旋轉一周的角度2π，就得到每秒的周波數，也就是頻率，w/2π＝frequency。
24. 再討論一個問題，電子在自己的能階中活動主要的能量形式是動能，為什麼公式只有計算位能，而沒有動能呢？數學家將電子前進的動能，簡化成電子上下振動的位能d，也就是數學家把電子上下振動的和諧運動，視為推動電子往前移動的動力來源。
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