2012年5月30日 星期三

簡單的和諧運動的定義Definition of Simple Harmonic Motion

三角函數13
如果有一個「質點」能夠沿著座標線規律地運動,那麼這個點的運動稱為簡單的「和諧運動」假設這個質點,在時間長t之內,從原點(零)起算的移動距離是d,那麼
dasinwt or da coswt
註:aw是實數,並且w0
這顆質點移動的振幅是︱a︱。
質點和諧運動的週期是2π/w,頻率是w/2π
n   翻譯編寫Ron Larson and David C. FalvoAlgebra and Trigonometry》;圖片來源MapsofworldGoobasLawsofwisdomFreepikAwakeningtorealityCatalogAcmMnn

Pachelbel's Canon


徐弘毅:
1.   海洋是由無數的分子構成,分子有質量、有動能,彼此不停地碰撞活動,並且海洋的分子們被地球引力控制,被不停地自轉與公轉的地球拉著跑,這麼多股力量牽引之下,海洋無法完全靜止,海面上總是大大小小的波浪。
2.   海浪,以海平面為平衡基準線上下起伏,海浪從海平面出發,往上衝高成凸起的高浪,接著往下墜落,抵達海平面高度,再繼續往下探,成為凹下的低潮,然後又反彈回海平面的高度,如此週而復始。
3.   如果海浪一波又一波的高峰與低谷,振幅與波長都十分規律,那麼,這些海浪就是再進行上一節我們談到彈簧的「和諧運動」
4.   彈簧的和諧運動與海浪波動的對比:彈簧懸掛的球(海浪的某一顆分子),從平衡位置(海平面)往上彈到至高點(海浪波峰),再往下回到平衡位置(海平面),繼續往下彈到最低點(凹下的低潮),然後再往上彈回平衡位置(海平面)……,如此規律地週而復始。
和諧運動Harmonic oscillation HD

5.   電子圍繞原子核的運動也是波狀的和諧運動。如果把電子看成是一顆粒子,那麼這顆粒子在三度空間中旋轉前進的軌跡,壓縮到一個平面上觀察,就像規律地上下起伏的海浪。
6.   龍捲風、熱帶氣旋也是一種「波」。充滿動能的氣體分子圍繞龍捲風或颱風的中心軸旋轉,時而捲入、時而外翻,盤旋而上。
7.   龍捲風的熱帶氣旋的中心垂直軸就是能量的平衡位置,充滿動能的氣體粒子一下子捲到中心垂直軸左邊(波谷),一下子捲到中心垂直軸右邊(波峰),週而復始,盤旋而上。熱帶氣旋的氣體粒子的行進軌跡就是一道垂直往上衝的波
8.   如果把電子看成是電子雲,而非完整一顆粒子,那麼,那麼電子雲就像龍捲風或熱帶氣旋一樣,包圍著環狀軌道中心軸旋轉往前推進,襲捲而去,一圈又一圈規律地重複。
9.   當電子雲在三度空間的氣旋運動壓縮到一個平面上觀察,電子雲所包圍的軌道中心軸就是橫x軸線,這也是平衡位置,電子雲最遠離原子核的頂點就是波峰,電子雲最靠近原子核的頂點就是波谷。由於圍繞原子核的電子雲的旋轉是規律的,因此反映電子雲的波也是規律的和諧運動
10. 接下來,我們要詳細解釋,在三度空間中電子雲或電子圍繞軌道軸心旋轉的運動,如何轉化壓扁成笛卡爾座標上的波?
11. 首先,我們要切割環狀電子軌道,就像切環狀雞蛋糕那樣割出一塊一塊的蛋糕切片;在每一個電子軌域的切面上,可以清楚看到電子圍繞著軸心轉一圈。
12. 笛卡爾座標x軸象徵電子圍繞的軌道軸心,當電子的位置正好x軸線上時,電子處於「原子核吸引電子的引力」與「電子想要脫離原子核的直線運動慣性」這二股力量的平衡位置,這裡的的位能0
13. 那麼往右延伸的x軸線又代表什麼呢?往右延伸的x軸線代表電子隨著時間沿著軌道直軸心往前移動,由於電子是用旋轉的方式往前移動,因此x軸線上的刻度就是電子旋轉的角度,在這裡我們用弧度來標示角度
14. 電子每旋轉一個角度,都可以在x軸線上找到相對應的點,並且電子在每一個角度的位置與軸心平衡位置之間的距離(位能差距),也可以y軸線上找到相對應的點,象徵電子角度與位置x,y交會點,就是電子波動過程的某一個點。
15. 當電子沿著軌道軸心旋轉的每一個位置標示在笛卡爾座標上,就會得到一條上下規律起伏的波形。
16. 再說明一次,曲線上每一個點與x軸的距離,代表三度空間中不同時間點的電子與中心軸(平衡位置)之間的距離d,距離d也象徵不同時間點下,不同位置的電子的位能。wt是電子旋轉的角度,a是電子與中心軸之間的半徑距離。
17. asinwt」是什麼意思呢?從電子的位置,往軸心畫一條直線,這條直線就是電子公轉軌域圓圈的半徑aa也是電子上下震盪的振幅;從電子的位置,往平衡位置的橫軸畫一條垂直線,這條垂直線的距離就d
18. 軸心、電子,以及平衡橫軸與電子往下垂直軸交會點,這3個點構成一個在電子環狀軌域內的直角三角形,這個直角三角形位於軸心的銳角角度是wt,「sinwt」是直角三角形的「對邊/斜邊」的比例值,也就是「電子目前位置與平衡位置之間的距d/a」的比例值。
19. 因此a sin wta×(d/a)d,最後得到的節果d是電子目前位置與平衡位置之間的距離,也是電子的位能,因為電子在這個位置並沒有達到平衡,勢必會移動以取得平衡。
20. 如果是求「a cos wt」的距d,那是用橫軸尋找電子與軸心垂直線之間的距離(位能),也就是把軸心垂直線當成平衡位置,比較電子左右擺盪的情況。電子是在旋轉中前進,不論用橫剖面還是用縱剖面分析振幅,意義都是一樣,都是將三度空間中立體的運動壓扁成平面觀察。
21. x軸線上的每一個點代表電子旋轉的角度(用弧度表示),「wtt代表時間,也就是電子在不同的時間點,w是將電子移動耗費的時間換算成角度的比例值,這是電子每單位時間(秒)移動的角度。
22. 所以,電子旋轉一周的角度2π÷角度與時間的換算比例值w,就得到電子移動一周的時間,也就是電子波狀運動的週期:2π/wperiod
23. 電子每秒移動的角w÷電子旋轉一周的角度2π就得到每秒的周波數,也就是頻率,w/2πfrequency
24. 再討論一個問題,電子在自己的能階中活動主要的能量形式是動能,為什麼公式只有計算位能,而沒有動能呢?數學家將電子前進的動能,簡化成電子上下振動的位能d,也就是數學家把電子上下振動的和諧運動,視為推動電子往前移動的動力來源

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