多項式因式分解 Factoring Polynomials

代數16

1.     多項式的公因數polynomials with Common Factors。將一個多項式分解成二個或二個以上多項式的乘積的作法，稱為因式分解factoring。因式分解是解開方程式與簡化方程式的重要工具。

Bach - Minuet in G Major, BWV Anh. 114 

2.     除非是特例，大部分的情況下，當你要找一個多項式的因數時，你可以設定自己先尋找係數的整數公因數。

3.     如果一個多項式的係數沒有辦法再挑出整數的公因數，那麼，這樣的多項式稱為質數prime，質數就是無法再化約分解的整數irreducible over the integers。舉例來說，多項式x²－3，裡面的係數是無法再化約的整數，因此多項式x²－3是質數。

4.     假設以下多項式的代數x所代表的是實數，這個多項式可以被因式分解為：

x²－3＝（x＋√3）（x－√3）

5.     當一個多項式分解後的每一個因式都是質數，這就是完全分解completely factored。舉例來說：

x³－x²＋4x－4＝（x－1）（x²＋4）

是完全分解，但是

x³－x²－4x＋4＝（x－1）（x²－4）

還沒有完全分解。以上多項式完全分解的狀態是

x³－x²－4x＋4＝（x－1）（x＋2）（x－2）

6.     多項式最簡單的因數分解寫法是寫成一個單項是和其他多項式的乘積。我們利用乘法分配率distributive property：a（b＋c）＝ab＋ac，將等式前後的數值顛倒：

ab＋ac＝a（b＋c）

完全分解一個多項式（ab＋ac）的第一步驟就是將係數的公因數（a）抽取出來，移到括弧的外頭a（b＋c）。

7.     【例題】挑出公因數Removing Common Factors

找出以下每個方程式的公約數。

a.6x³－4x

b.－4x²＋12x－16

c.（x－2）（2x）＋（x－2）（3）

【解題】

a.6x³－4x＝2x（3x²）－2x（2）

2x是公因數

b.－4x²＋12x－16

＝－4（x²）＋（－4）（－3x）＋（－4）4

＝－4（x²－3x＋4）

－4是公因數

c.（x－2）（2x）＋（x－2）（3）＝（x－2）（2x＋3）

（x－2）是公因數

n   翻譯編寫Ron Larson and David C. Falvo《Algebra and Trigonometry》 

多項式的運算 Operations with Polynomials

代數15

1.     多項式的加法、減法的運算方式跟實數的加法與減法十分類似，只要把一樣的「項」（包括指數、代數在內都一樣的變項）連同它們的係數進行加或減。

Haydn Symphony No. 94 in G 2nd movement

2.     舉例來說，－3xy²和5xy²都是一樣的變項，它們的總和是：

－3xy²＋5xy²＝（－3＋5）xy²＝2xy²

3.     【例題】對多項式進行分類再加出總和 Sums and Differences of Polynomials

【解題】

4.     為了找到多項式的乘積，我們將使用「乘法的左右分配律 the left and right distributive properties」。舉例來說，如果我們將5x＋7當成一組數值，那麼，（3x－2）×（5x＋7）得到

【解題】

以上的方法稱為FOIL Method

Product of First terms是左右二組數值的第一個項數相乘的積

Product of Outer terms是左右二組外側項數相乘的積，稱為外積

Product of Inner terms是左右二組數值內側項數相乘的積，稱為內積

Product of Last terms是左右二組數值最後一個項數相乘的積

特別留意，外積與內積的項是一樣的，可以結合。

5.     【例題】利用FOIL法找到以下方程式的乘積 Finding a Product by the FOIL Method

利用FOIL法去找到2x－4和x＋5的乘積

【解題】

（2x－4）（x＋5）＝2x²＋10x－4x－20

＝2x²＋6x－20

6.     當我們將二個多項式互乘的時候，要確定前一個多項式的每一個項，都與另一個多項式的每一個項互乘過了。用直式來計算會更清楚。

7.     【例題】直式乘法 A vertical Arrangement for Multiplication

將x²－2x＋2乘上x²＋2x＋2，用直式來乘。

【解題】

Haydn Symphony No. 94 in G 2nd movement

8.     特殊乘積Special Products。某些雙多項式（二個多項式相乘）乘積有特殊的代數模式。你不需要記得這些雙多項式乘積的公式，因為你可以用乘法的分配律Distributive Property得到一樣的結果。然而，熟悉這些公式可以讓你運算代數的速度加快。

9.     【例題】兩組多項式的每一個「項」的代數或數值都一樣，但是這二組的其中一個「項」的符號剛好相反，計算方式是將頭、尾的項互乘，然後加起來，就可得到答案，不需要考慮中間的數值Sum and Difference of Same Terms

請找出5x＋9和5x－9的乘積

【解題】

依據(u＋v）(u－v）＝u²－v²

(5x＋9）(5x－9） ＝(5x）²－9²＝25x²－81

10. 【例題】多項式的平方Square of a Binomial

請找出(6x－5）²

【解題】

依據(u－v)²＝u²－2uv＋v²

(6x－5)²＝(6x－5)²－2(6x)(5)＋5²

＝36 x²－60x＋25

11. 【例題】多項式的立方 Cube of a Binomial

請找出(3x＋2)³

【解題】

依據(u＋v)³＝u³＋3u²v＋3uv²＋v³

u代表3x，v代表2

(3x＋2)³＝(3x)³＋3(3x)²(2)＋3(3x)(2²)＋2³

＝27x³＋54x²＋36x＋8

Haydn: Symphony No. 94 in G major ("Surprise") - Movement 2 

12. 【例題】三個項所組成的多項式，兩兩相乘得到的乘積 The Product of Two Trinomials

請找出x＋y－2和x＋y＋2

【解題】

先將(x＋y－2)和(x＋y＋2)分組成為 [(x＋y)－2][ (x＋y)＋2]

這樣就可以利用(u＋v) (u－v)＝u²－v²計算

(x＋y－2) (x＋y＋2)＝

[(x＋y)－2][ (x＋y)＋2]＝

(x＋y)²－2²＝x²＋2xy＋y²－4

13. 【範例】計算盒子的體積 Volume of a Box

我們要做一個上方開口的金屬盒子，方法是將一片16英尺×20英尺的方形金屬的四個角落各剪下一塊同面積的正方形，剪完之後將四邊往上折疊黏妥，就成為一個上方開口的金屬盒子。

我們假設方形金屬的四個角落剪下的正方形面積是x英吋。請計算剪下的正方形面積邊長x＝1、x＝2和x＝3，折疊出來的盒子體積有什麼不同。

【解題solution】

長方形盒子的體積等於它的長×寬×高。從圖來看，剪下四個角落x²正方形之後，盒子的長是20－2x、寬是16－2x，高是x。因此盒子的體積是

盒子的體積

＝(20－2x)（16－2x）（x）

＝（320－72x＋4x²）（x）

＝320x－72x²＋4x³

當x＝1英吋，盒子的體積是

盒子的體積

＝320(1)－72(1)²＋4(1)³

＝252立方英吋

當x＝2英吋，盒子的體積是

盒子的體積

＝320(2)－72(2)²＋4(2)³

＝384立方英吋

當x＝3英吋，盒子的體積是

盒子的體積

＝320(3)－72(3)²＋4(3)³

＝420立方英吋

n   翻譯編寫Ron Larson and David C. Falvo《Algebra and Trigonometry》