多項式 Polynomials

代數14

1.   最常見的代數方程式是多項式polynomial。舉例來說2x＋5、3x⁴－7x²＋2x＋4和5x²y²－xy＋3，以上這些都是多項式。2x＋5、3x⁴－7x²＋2x＋4是x的多項式，5x²y²－xy＋3是x與y的多項式。

Dvorak- Symphony No.9- New York Philharmonic 4/4 (HD)

徐弘毅注：代數的意思是用一個符號代表某一群數字，例如用英文字x或y來代表一群數字；代數方程式是用符號與數字描述某一組數值變化規則的公式；多項式的意思是用幾組數字與符號來說明按照某一種規則變化的數字群。

2.   各種關於x的多項式可簡化成ax^k，其中a是係數，k是次方？舉例來說，多項式:

2x³－5x²＋1＝2x³＋（－5）x²＋（0）x＋1

係數是2、－5、0和1

3.   由x組成的多項式的定義 Definition of a Polynomial in x 

設定a0、a1、a2……、an是實數，n是負的整數

由x方程式所寫出的多項式是：

anxⁿ＋an－1x^n－1＋……＋a1x＋a0

an≠0。多項式的次方degree是n，多項式的首項係數leading coefficient是an，常數項constant term是a0。

4.   如果多項式是由一個數字或代數組成，稱為單項式monomials，如果多項式是由二個數字或代數組成，稱為雙項式binomials；如果多項式是由三組數字組成的，稱為三項式trinomials，依此類推下去。

5.   多項式的標準式standard form是讓代數的次方由大而小排列。

6.   【例題】將以下多項式用標準式寫出來

7.   如果一個多項式的所有係數都是零，稱為零多項式zero polynomial。零多項式的代數不需要寫指數，因為不論它的指數是什麼，乘上係數零之後答案都是零。

8.   擁有一個以上變項的多項式，它每一個項的次方是將各變相的指數加起來的結果。

徐弘毅注：變項就是指，以代數x或y組成的方程式裡的代數x或y。為什麼x或y這些代數叫變項？因為它所代表的不是單一、固定的數字，而是各種多變的數字。

9.   舉例來說，多項式－2x³y⁶＋4xy－x⁷y⁴的指數是11，因為這個方程式中指數最大的變項是最後一個變項x⁷y⁴，它的指數是7＋4＝11。

10. 多項式的首項係數是指數最高的代數的係數。舉例來說，

2x³－5x²＋1＝2x³＋（－5）x²＋（0）x＋1

指數最高的代數是x³，所以首項係數是2。

11. 如果方程式的「變項」被開根號，或是多項式方程式的某個「項」是分母，這樣的方程式不會被認為是多項式。以下的方程式皆非多項式

x³－√3x＝x³－(3x)^1/2

以上方程式不是多項式的原因是，x的指數是1/2，1/2不是整數。

x²＋(5/x)＝x²＋5x^－1

以上方程式不是多項式的原因是，x的指數是－1，－1不是正整數，指數－1代表x是分母，而不是分子。

n   翻譯編寫Ron Larson and David C. Falvo《Algebra and Trigonometry》