化學原理啟迪323
1. Steven S. Zumdahl：與一度空間的盒中粒子不同的是，氫原子的電子是在三度空間移動，因為原子中心的帶正電的原子核吸引著電子，使得電子有位能。
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2. 徐弘毅：電子圍繞原子核公轉時，本身是圍繞著軌道中心軸旋轉前進，因此，電子的位置有時比較遠離原子核，有時比較靠近原子核，有時比較接近軌道中心的平衡位置，這造成電子的位能不同。愈接近平衡位置，位能愈小，愈遠離平衡位置，位能愈大。
3. Steven S. Zumdahl：原子的電子在三度空間的位置反應它的位能，用笛卡爾直角座標可以標示出電子在三度空間的位置，我們透過輸入電子在三度空間的笛卡爾直角座標上的一組數值計算「第二衍生數」來解釋「盒中粒子」和「原子系統內的電子」之間的差異。
4. 因為用數學來計算比較方便，在解開薛丁格方程式之前，衡量電子位置的座標從笛卡爾系統換成球形極座標spherical polar coordinates。 在球形極座標系統空間中的某一個特定的點是以r、θ、φ，這三個座標點等同於笛卡爾座標的x、y、z座標。
5. 在球形極座標系統波函數ψ(r,θ,φ)可以寫成一個函數產物，這個函數產物的移動受到第一股力量r的牽動（依賴關係），第二股力量θ的牽動（依賴關係），第三股力量φ的牽動（依賴關係）：
ψ(r,θ,ψ)＝R(r) θ(θ) φ(φ)
6. R(r) 、θ(θ)、 φ(φ)這幾個獨立的變項能夠精確地解開氫原子的薛丁格方程式：
Ĥψ＝Eψ
7. 在球形極座標系統，氫原子的電子的位能（in cgs units釐米－克－秒單位制）是：
V(r)＝－(Ze)(e)/r
Ze代表原子核的電荷（氫原子的原子核只有一個帶正電的質子，因此Z＝1） 。
8. 徐弘毅：薛丁格用他的想像力進入原子的世界，觀察電子的狀態，他可能把自己想像成一名戰鬥機飛行員，像追蹤敵機那樣追蹤電子，紀錄電子的位置。
9. 原子系統中的電子，圍繞軌道的中心軸旋轉，「軌道中心軸」是原子核引力、斥力與電子直線前進慣性力量的平衡點，電子如果跑到軌道中心軸，它的位能就是0。
10. 原子系統內的電子非常活潑，縱使短暫切入軌道中心軸，也不會滯留在這裡，很快地電子就會被其他的力量牽引跑到其他的位置，每一個位置依據它與中心軸的距離，位能不同。薛丁格想要觀察清楚電子的位置，確定它的位能，他怎麼追蹤定位呢？
11. 他以「平衡位置」為戰鬥機的跑道，瞄準空中的某一顆電子，計算直線飛到那顆電子時，他需要移動的直線距離r，飛機往上拉的仰角以及左、右轉的角度θ、φ。
12. 飛航的作法就像航海一樣，船長要往某個目標前進，預先估計舵要旋轉的角度與船行的距離。
13. 在平靜無浪的日子，船航行於海面上的只要考慮左轉或右轉的角度φ，以及航行的距離r；萬一遇到暴風雨，巨浪濤天的時候，除了考慮左右轉的角度φ，以及航行的距離r，還要考慮衝上大浪的仰角或沿著巨浪下墜的俯角θ。
14. 薛丁格用想像力進入原子的世界，追蹤電子的位置無數次，確定電子的運動模式，才找到衡量一顆電子能量的方程式。我們將電子在空間中所處的各種位置，輸入薛丁格方程式，會得到電子在不同空間所蘊含的能量（位能）。
15. Steven S. Zumdahl：如同盒中的粒子是在有邊界的環境，原子的電子也是存在於有邊界的環境－沒有外力介入時，依據固定大小的運動軌道活動。當我們把原子系統內的電子在軌道空間中的位置輸入薛丁格方程式，解開電子的能量，會得到一系列的波函數，每個函數代表某個特定的能量。
16. 一度空間的盒中粒子只會運算出1個量子數；相反地是，三度空間的氫原子的電子會會運算出3個量子數。
17. 徐弘毅：一度空間的盒中粒子所象徵的量子，只沿著直線前進，衡量它的能量指標只有一個，所以只有一個量子數。原子系統內的電子是在三度空間運動的，所以有三個角度可以衡量它的位置所蘊含的位能。
18. 電子的三個量子數到底是什麼？第一個量子數r是，電子目前所處的位置與軌道中心軸的平衡位置，二者之間的最短直線距離。
19. 在討論第二個量子數之前，我們得先討論Z軸平面。首先，將環繞原子核的電子軌道視為一個平面，從軌道中心軸往上往下延伸、垂直於軌道平面的另一個平面「Z軸的平面」，也是另一個平衡位置，因為這裡是電子往外直線移動的離心力與原子核引力的交會點。第二個量子數是電子所在的位置與「Z軸」之間的角度差距。
20. 第三個量子數是電子所在的位置與中心軸「x軸」之間角度差距。
21. 由於電、磁在空間中是互相垂直的，如果第二個量子數代表的是電波與平衡位置之間的位能落差，那麼第三個量子數就是討論磁波與平衡位置之間的位能落差；相反地，如果第二個量子數代表的是磁波，那麼第三個量子數就是討論電波。
22. 討論電波與平衡位置之間角度落差的是角動量子數，討論磁波與平衡位置之間角度落差是磁量子數。主量子數指的應該是電子目前所在的位置與平衡位置之間的直線距離r。這是反映一顆電子能量最主要的指標。
23. Steven S. Zumdahl：原子的電子的3個量子數，各自的符號如下：
n 主量子數
l 角動量子數
ml 磁量子數
24. 波動力學相關數值導引出方程式，說明氫原子的電子在各種能階的能量：
En＝－Z2/n2(me4/8ε02h2)＝－2.178×10－18J(Z2/n2)
氫原子的原子核只有一個帶正電的質子，所以Z＝1，主量子數n是整數1、2、3……。
25. 以上這個方程式有許多特點值得討論。首先，特別留意電子的能量取決於主量子數（當原子的電子軌域每一個能階只有一個電子時，以上這句話才成立）。
26. 其次，特別留意因為主量子數限定為整數，氫原子的電子只能有明確分野的能量值，意思是能階是量化的。最後，特別留意這個描述原子的電子的能量方程式，與波爾模型氫原子的電子的能量方程式是一樣的。
27. 以下是原子的一顆電子依據薛丁格波動方程式計算出來的能量，包含三個量子數n、l、ml。
28. 當我們用薛丁格方程式解開氫原子的電子的能量，得到的解答數字是錯綜複雜的（有些數值怪怪的），例如i＝√－1，在數學上來看是沒有實數解答的。
29. 在物理上軌域是實數比較方便計算（電子是存在於實際空間軌域內的，照理說應該是實數），所以會把錯綜複雜的數值合併（相加或相減），除去龐雜的枝節。
30. 舉例來說，上表px和py軌域是合併ml等於1和－1等幾個錯綜複雜的軌域。最下面四排的d軌域也是合併幾個錯綜複雜的軌域而來。
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