2012年8月4日 星期六

多項式的運算 Operations with Polynomials

代數15
1.     多項式的加法、減法的運算方式跟實數的加法與減法十分類似,只要把一樣的「項」(包括指數、代數在內都一樣的變項)連同它們的係數進行加或減。
Haydn Symphony No. 94 in G 2nd movement

2.     舉例來說,3xy25xy2都是一樣的變項,它們的總和是:
3xy25xy2=(-35xy22xy2
3.     【例題】對多項式進行分類再加出總和 Sums and Differences of Polynomials
【解題】
4.     為了找到多項式的乘積,我們將使用「乘法的左右分配律 the left and right distributive properties」。舉例來說,如果我們將5x7當成一組數值,那麼,3x2×5x7得到
【解題】
以上的方法稱為FOIL Method
Product of First terms是左右二組數值的第一個項數相乘的積
Product of Outer terms是左右二組外側項數相乘的積,稱為外積
Product of Inner terms是左右二組數值內側項數相乘的積,稱為內積
Product of Last terms是左右二組數值最後一個項數相乘的積
特別留意,外積與內積的項是一樣的,可以結合。
5.     【例題】利用FOIL法找到以下方程式的乘積 Finding a Product by the FOIL Method
利用FOIL法去找到2x4x5的乘積
【解題】
2x4)(x5)=2x210x4x20
2x26x20
6.     當我們將二個多項式互乘的時候,要確定前一個多項式的每一個項,都與另一個多項式的每一個項互乘過了。用直式來計算會更清楚。
7.     【例題】直式乘法 A vertical Arrangement for Multiplication
x22x2乘上x22x2,用直式來乘。
【解題】

Haydn Symphony No. 94 in G 2nd movement

8.     特殊乘積Special Products。某些雙多項式(二個多項式相乘)乘積有特殊的代數模式。你不需要記得這些雙多項式乘積的公式,因為你可以用乘法的分配律Distributive Property得到一樣的結果。然而,熟悉這些公式可以讓你運算代數的速度加快。
9.     【例題】兩組多項式的每一個「項」的代數或數值都一樣,但是這二組的其中一個「項」的符號剛好相反,計算方式是將頭、尾的項互乘,然後加起來,就可得到答案,不需要考慮中間的數值Sum and Difference of Same Terms
請找出5x95x9的乘積
【解題】
依據(uv(uv)=u2v2
(5x9(5x9 (5x29225x281
10. 【例題】多項式的平方Square of a Binomial
請找出(6x52
【解題】
依據(uv)2u22uvv2
(6x5)2(6x5)22(6x)(5)52
36 x260x25
11. 【例題】多項式的立方 Cube of a Binomial
請找出(3x2)3
【解題】
(uv)3u33u2v3uv2v3
u代表3xv代表2
(3x2)3(3x)33(3x)2(2)3(3x)(22)23
27x354x236x8
Haydn: Symphony No. 94 in G major ("Surprise") - Movement 2 

12. 【例題】三個項所組成的多項式,兩兩相乘得到的乘積 The Product of Two Trinomials
請找出xy2xy2
【解題】
先將(xy2)(xy2)分組成為 [(xy)2][ (xy)2]
這樣就可以利用(uv) (uv)u2v2計算
(xy2) (xy2)
[(xy)2][ (xy)2]
(xy)222x22xyy24
13. 【範例】計算盒子的體積 Volume of a Box
我們要做一個上方開口的金屬盒子,方法是將一片16英尺×20英尺的方形金屬的四個角落各剪下一塊同面積的正方形,剪完之後將四邊往上折疊黏妥,就成為一個上方開口的金屬盒子。

我們假設方形金屬的四個角落剪下的正方形面積是x英吋。請計算剪下的正方形面積邊長x1x2x3,折疊出來的盒子體積有什麼不同。
【解題solution
長方形盒子的體積等於它的長××從圖來看,剪下四個角落x2正方形之後,盒子的長是202x、寬是162x,高是x。因此盒子的體積是
盒子的體積
(202x)162x)(x
=(32072x4x2)(x
320x72x24x3
x1英吋,盒子的體積是
盒子的體積
320(1)72(1)24(1)3
252立方英吋

x2英吋,盒子的體積是
盒子的體積
320(2)72(2)24(2)3
384立方英吋

x3英吋,盒子的體積是
盒子的體積
320(3)72(3)24(3)3
420立方英吋

n   翻譯編寫Ron Larson and David C. FalvoAlgebra and Trigonometry 

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