代數15
1. 多項式的加法、減法的運算方式跟實數的加法與減法十分類似,只要把一樣的「項」(包括指數、代數在內都一樣的變項)連同它們的係數進行加或減。
Haydn Symphony No. 94 in G 2nd movement
2. 舉例來說,-3xy2和5xy2都是一樣的變項,它們的總和是:
-3xy2+5xy2=(-3+5)xy2=2xy2
3. 【例題】對多項式進行分類再加出總和 Sums and Differences of Polynomials
【解題】
4. 為了找到多項式的乘積,我們將使用「乘法的左右分配律 the left and right distributive properties」。舉例來說,如果我們將5x+7當成一組數值,那麼,(3x-2)×(5x+7)得到
【解題】
以上的方法稱為FOIL Method
Product of First terms是左右二組數值的第一個項數相乘的積
Product of Outer terms是左右二組外側項數相乘的積,稱為外積
Product of Inner terms是左右二組數值內側項數相乘的積,稱為內積
Product of Last terms是左右二組數值最後一個項數相乘的積
特別留意,外積與內積的項是一樣的,可以結合。
5. 【例題】利用FOIL法找到以下方程式的乘積 Finding a Product by the FOIL Method
利用FOIL法去找到2x-4和x+5的乘積
【解題】
(2x-4)(x+5)=2x2+10x-4x-20
=2x2+6x-20
6. 當我們將二個多項式互乘的時候,要確定前一個多項式的每一個項,都與另一個多項式的每一個項互乘過了。用直式來計算會更清楚。
7. 【例題】直式乘法 A vertical Arrangement for Multiplication
將x2-2x+2乘上x2+2x+2,用直式來乘。
【解題】
Haydn Symphony No. 94 in G 2nd movement
8. 特殊乘積Special Products。某些雙多項式(二個多項式相乘)乘積有特殊的代數模式。你不需要記得這些雙多項式乘積的公式,因為你可以用乘法的分配律Distributive Property得到一樣的結果。然而,熟悉這些公式可以讓你運算代數的速度加快。
9. 【例題】兩組多項式的每一個「項」的代數或數值都一樣,但是這二組的其中一個「項」的符號剛好相反,計算方式是將頭、尾的項互乘,然後加起來,就可得到答案,不需要考慮中間的數值Sum and Difference of Same Terms
請找出5x+9和5x-9的乘積
【解題】
依據(u+v)(u-v)=u2-v2
(5x+9)(5x-9) =(5x)2-92=25x2-81
10. 【例題】多項式的平方Square of a Binomial
請找出(6x-5)2
【解題】
依據(u-v)2=u2-2uv+v2
(6x-5)2=(6x-5)2-2(6x)(5)+52
=36 x2-60x+25
11. 【例題】多項式的立方 Cube of a Binomial
請找出(3x+2)3
【解題】
依據(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3
u代表3x,v代表2
(3x+2)3=(3x)3+3(3x)2(2)+3(3x)(22)+23
=27x3+54x2+36x+8
Haydn: Symphony No. 94 in G major ("Surprise") - Movement 2
12. 【例題】三個項所組成的多項式,兩兩相乘得到的乘積 The Product of Two Trinomials
請找出x+y-2和x+y+2
【解題】
先將(x+y-2)和(x+y+2)分組成為 [(x+y)-2][ (x+y)+2]
這樣就可以利用(u+v) (u-v)=u2-v2計算
(x+y-2) (x+y+2)=
[(x+y)-2][ (x+y)+2]=
(x+y)2-22=x2+2xy+y2-4
13. 【範例】計算盒子的體積 Volume of a Box
我們要做一個上方開口的金屬盒子,方法是將一片16英尺×20英尺的方形金屬的四個角落各剪下一塊同面積的正方形,剪完之後將四邊往上折疊黏妥,就成為一個上方開口的金屬盒子。
我們假設方形金屬的四個角落剪下的正方形面積是x英吋。請計算剪下的正方形面積邊長x=1、x=2和x=3,折疊出來的盒子體積有什麼不同。
【解題solution】
長方形盒子的體積等於它的長×寬×高。從圖來看,剪下四個角落x2正方形之後,盒子的長是20-2x、寬是16-2x,高是x。因此盒子的體積是
盒子的體積
=(20-2x)(16-2x)(x)
=(320-72x+4x2)(x)
=320x-72x2+4x3
當x=1英吋,盒子的體積是
盒子的體積
=320(1)-72(1)2+4(1)3
=252立方英吋
當x=2英吋,盒子的體積是
盒子的體積
=320(2)-72(2)2+4(2)3
=384立方英吋
當x=3英吋,盒子的體積是
盒子的體積
=320(3)-72(3)2+4(3)3
=420立方英吋
n 翻譯編寫Ron Larson and David C. Falvo《Algebra and Trigonometry》
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