根號與它們的性質 Radicals and Their Properties

代數10

1.     一個數字的平方根square root是它的二個相等的因數的其中一個。舉例來說，25＝5×5＝5²，5是25的平方根，因為5是25的二個相等的因數的其中之一。

2.     同樣地，一個數字的立方根cube root這個數字的三個相等的因數的其中之一，125＝5³，5是125的立方根。

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3.     一個數字的n次方根的定義

a和b是實數，n≧2並且n是正整數。如果

a＝bⁿ

b是a的n次方根。如果n＝2，那就是平方根。如果n＝3，這就是立方根。

4.     某些數字有超過一個以上的n次方根。舉例來說，5和－5都是25的平方根。不過，25的主要平方根 the principle square root of 25，寫成√25，是正的根數5。

5.     一個數字的主要次方根法則 Principle nth Root of a Number

假設a是一個實數，a至少有1個n次方根。a的主要n次方根是與a正負號相等的n次方根。它可以用根號來表示

ⁿ√a 主要n次方根

正整數n是要開的方根數，數字a是被開方的數值。一般習慣是，如果n＝2，就省略不寫要開的方根數2，直接寫成√a。

6.     一般的看法認為，一個數字開的平方根同時包含負數根與正數根。這是不正確的。平方根，只允許有正的根，沒有負的根。如果你需要答案是負的根，那麼負號必須放在平方根符號的前面。

不正確：√4＝±2

正確：－√4＝－2 , √4＝2

7.     【範例】計算開根號的方程式

a. √36＝6，因為6²＝36

b. －√36＝－6，因為－（√36）＝－（√6²）＝－（6）＝－6

c. ³√125/64＝5/4，因為（5/4）³＝5³/4³＝125/64

d. ⁵√－32＝－2，因為(－2)⁵＝－32

e. ⁴√－81不是一個實數，因為沒有實數可以透過彼此相乘4次而變成負數的－81；不論任何數字如果彼此相乘的次數是偶數，結果一定是正數，而不是負數。

8.     實數的n次方根的一般原則 Generalizations About nth Roots of Real Numbers

實數a＞0，開的根號n是整數，並且n＞0、n是偶數

a的根：ⁿ√a、－ⁿ√a 舉例：⁴√81＝3, －⁴√81＝－3

實數a＞0或a＜0，開的根號n是奇數

a的根：ⁿ√a 舉例：³√－8＝－2

實數a＜0，開的根號n是偶數

a的根：不是實數 舉例：√－4不是實數

實數a＝0，開的根號n是奇數或偶數

a的根：ⁿ√0＝0 舉例：⁵√0＝0

9.     像1、4、9、16、25這類整數稱為完美平方數perfect squares，因為他們開出來的平方根是整數。同樣地，像1、8、27、64和125這類的整數稱為完美立方數perfect cubes，因為他們開出來的立方根是整數。

10. 根的性質 Properties of Radicals

a和b為實數、是代數方程式的變項，因此他們的根也會是實數，並且m和n是正整數。

11. 特別留意第六點，√a²＝∣a∣。實數的平方a²是正數，依據主要次方根法則，正數開出來的根必須是正數。

12. 【範例】應用根的性質計算以下方程式的答案。

a.√8‧√2  b.（³√5）³  c. ³√x³  d.⁶√y⁶

【解題】

a. √8‧√2＝√8‧2＝√16＝4

b. （³√5）³＝5

c. ³√x³＝x

d. ⁶√y⁶＝∣y∣

n   翻譯編寫Ron Larson and David C. Falvo《Algebra and Trigonometry》