盒中粒子模型（三） The Particle in a Box as a ModelⅢ

化學原理啟迪316

1.       徐弘毅：本人重新思考三角函數跟薛丁格方程式的關係，發覺過去對薛丁格方程式的看法必須做一些修正。

2.       Steven S. Zumdahl：薛丁格方程式有能量運算子Ĥ，在這裡，因為盒子裡的位能是零，因此粒子沿著x軸來回移動唯一的來源是動能。

動能的運算子是：－ℏ²/2m‧d²/dx²

3.       徐弘毅注：ℏ是普朗克常數h除以2π。普朗克常數h由德國物理學家普朗克提出，普朗克加熱物質（黑體）到白熱化的地步，測量物質在白熱化狀態下放射出來的電磁波能量，發現黑體物質吸收或釋放的能量是「普朗克常數×頻率hv」的整數倍。

4.       「普朗克常數×頻率hv」是一顆量子quantum的能量，也可以說是一包能量粒子的總能量，因為所謂的一顆量子是由許許多多更小的能量粒子組成，因為這群粒子彼此緊密結合成一團，所以被認為是「一顆」或「一單位」。總之，量子是能量的基本單位，就像原子是物質世界的基本單位。

5.       頻率v的定義是每秒鐘能量粒子旋轉的周波數，普朗克常數h的定義是特定時間內（秒）推動能量粒子旋轉的能量(J焦耳)，因此「普朗克常數×頻率hv」是量子每秒的能量。 

6.       ℏ是普朗克常數h除以2π，ℏ是每秒推動量子旋轉的半徑力量，因為薛丁格的模型要解決的是原子控制的電子，因此這裡指的是每秒推動電子旋轉的半徑力量。請問這裡的半徑是指什麼？應該是指推動電子自轉力量，而不是拉著電子圍繞原子核公轉的力量。

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7.       ℏ是每秒推動量子旋轉的半徑力量，如果用電子是一整顆粒子的角度，前進路徑是波狀起伏，那麼，這個半徑指的是電子的平衡位置與電子波峰或波谷的距離；

8.       如果用電子是一群電子雲的角度，前進路徑是電子雲圍繞著軌域中心軸旋轉，那麼，推動電子自轉的半徑力量ℏ指的是電子軌域中心軸與環繞他旋轉的最外層電子之間的距離，因為電子軌域中心軸就是平衡位置。

9.       為什麼電子與平衡位置之間的距離是推動粒子旋轉的力量？平衡位置是原子核與電子各種慣性力量的平衡點，所有的物質都追求最平衡的狀態，所以電子也會追求進入平衡狀態，如果電子的位置高於或低於平衡位置，那電子就存在一個位能，將電子拉回平衡位置，就像山上的石頭自動沿著山坡往下滾一樣。

10.     愛因斯坦測量三度空間中的光子的能量，方法是用一個平面攔截光子E＝mc²，光速c的能量被攤成平面c²；同樣地，在三度空間中活動的電子的能量也是用平面攔截測量，因此推動電子旋轉的半徑力量ℏ應該要把直線轉換成平面ℏ²，ℏ²是原子的電子每秒旋轉的力量。

11.     盒中粒子模型的x軸是模擬電子圍繞原子核公轉的軌跡，粒子從某個位置，往左（或往右）移動，先後碰撞到盒子的二面牆壁再反彈回原本的位置，這整個過程算一次完整的公轉週期。

12.     因此，如果要把三度空間中電子圍繞原子核旋轉的能量轉化到盒中粒子模型的x軸，必須注意粒子在x軸上往某個方向移動的一段距離，是指電子圍繞原子核公轉的半圈上的一段移動距離。除非粒子在x軸上來回移動經過同一個線段2次，這個線段距離所指的才是公轉一圈的距離。

13.     因此，我們必須將來自於電子公轉一圈的電子每秒旋轉的力量ℏ²除以2，才能代表粒子在x軸上往單一方向移動一段距離的能量ℏ²/2。

14.     ℏ²/2m是指在x軸上每秒粒子（電子）移動的能量再扣除質量÷m，變成粒子每單位質量的動能，可看視為純粹的動能。注：在x軸上每秒電子移動的能量是一半的電子公轉軌道能量，ℏ²先除以2：ℏ²/2。

15.     d²/dx²是x的第二個衍生數，第二個衍生數的意思是這顆粒子移動到波狀運動曲線上的某一個位置點的座標數值。

16.     為什麼要瞭解粒子移動的「第二個衍生數」？粒子是「波狀前進」是一個粗略的概念，怎麼把這個粗略的概念細膩化，準確地描述粒子波狀運動的能量呢？必須將粒子前進的每一個步驟都用明確的數字標示出來。

17.     因此薛丁格將粒子運動的「波」放進笛卡爾座標，標示清楚粒子波狀運動的每一步，x軸是電子圍繞原子核公轉的角度，y是指電子當前位置與軌道的平衡位置之間的距離。

18.     因此，dx是指粒子移動到某一個特定位置點D時的角度，這是與平衡位置點相較之下的旋轉角度，也是盒中粒子模型在x軸上的某一個點；d是粒子移動到某一個特定位置點D時與平衡位置之間的距離，這是推動粒子前進的位能。

19.     d²/dx²是指粒子波狀運動到某一個位置點時，「粒子與平衡位置的距離」，與「粒子角度與原點的距離」的比例，這也是粒子波狀移動到第二個位置過程中「位能改變幅度」與「角度改變幅度」之間的比例值。

20.     接下來解釋ℏ²/2m‧d²/dx²。ℏ²/2m是在x軸上的粒子（電子）每秒移動的動能，「粒子每秒移動的動能ℏ²/2m」再除以「粒子移動到第二個位置的角度改變幅度/dx²」，得到粒子平均每一個角度的動能，換成立體的原子模型來看，這就是電子圍繞原子核公轉時，每轉一度的動能。

21.     由於電子並不是沿著環狀軌域直線式公轉，而是波狀公轉，所以，必須把電子在環狀軌道上每一度的動能(ℏ²/2m)÷dx²，再乘上電子當時的位能d²，才是電子移動的總能量。

22.     ℏ²/2m‧d²/dx²就是電子在波狀運動的每一個特定位置點上的能量，轉化成薛丁格盒中模型就是，粒子沿著x軸波狀運動到某一個位置點所蘊含的能量。

23.     Steven S. Zumdahl：把能量運算子輸入薛丁格方程式ĤΨ＝EΨ，得到

－ℏ²/2m‧（d²Ψ/dx²）＝EΨ

24.     徐弘毅：Ψ是波函數，什麼是波函數？波函數是一個直角三角形斜邊與鄰邊、對邊的比例，主要的函數有sine和cosine，直角三角形的銳角θ的三角函數sinθ＝對邊/斜邊、 cosθ＝鄰邊/斜邊。

25.     物理學家利用三角函數計算粒子移動的波動距離，如何做到這一點？物理學家將粒子移動的波狀路徑上的某一個點，與角度等於0的原點（注），以及這個點垂直於x軸上的點，連接成直角三角形。

注：除了角度等於0的位置外，應該也可以依據粒子在波上的位置比較靠近誰，而與π、2π、3π、4π……等其他位能同樣等於0的點，連接成直角三角形。

26.     粒子運動的波狀路徑長度十分接近這個直角三角形的斜邊，因此只要計算出這個直角三角形的斜邊長度，幾乎就等於計算出粒子波狀移動的路徑長度。

27.     我們已經知道盒中粒子在波上某一個點的能量了，為什麼還要把這個點的能量再乘上一個波函數？

28.     因為盒中粒子（電子）在某個位置點的能量計算來源是它與平衡位置之間的垂直距離（位能），這樣做是把粒子所象徵的電子，當成沿著一條垂直線上下振動（和諧運動），因此ℏ²/2m‧d²/dx²代表的是這顆電子與平衡位置的垂直距離所蘊含的能量，這樣的描述還不夠精確。

29.     更精確、更符合真實的描述是，電子是從位能等於0的原點波狀運動某個位置點，所以我們必須把粒子從位能等於0的平衡位置出發，沿著波狀路徑，也就是直角三角形斜邊，移動到某個位置點的距離計算出來，這樣調整過的能量才更符合粒子的真實能量。

這就是薛丁格將粒子的能量ℏ²/2m‧d²/dx²乘上波函數Ψ的目的：－ℏ²/2m‧（d²Ψ/dx²）。

30.     薛丁格方程式：－ℏ²/2m‧（d²Ψ/dx²）＝EΨ，E是常數，為什麼？E代表粒子（電子）在波上某一個點的能量ℏ²/2m‧d²/dx²，粒子與平衡位置的距離有長有短，不同距離的能量會不一樣。

31.     但是如果d所指的是粒子位於某一個固定的位置點時，它與平衡位置的距離，那麼，粒子與平衡位置的距離d就是固定的，粒子本身的能量ℏ²/2m‧d²/dx²當然也是固定的，因此它是一個常數E。

注：有關於薛丁格對d的定義，要看他的原始論文怎麼說，從目前Steven S. Zumdahl引述的內容看起來，好像是指粒子在波上的一個特定位置點。