化學原理啟迪319
1. Steven S. Zumdahl：把運算子輸入薛丁格方程式ĤΨ＝EΨ，得到
－ℏ2/2m‧d2Ψ/dx2＝EΨ
注：Ψ是波函數。
我們重新排列這個方程式得到
（d2/dx2）Ψ＝－（2mE/ℏ2）Ψ
Brendel plays Schubert Impromptu Op.90 No.3
2. 我們的目標是找到符合這個方程式的特定波函數Ψ(x)，特別留意這個方程式的解答d2Ψ/dx2＝（常數constant）Ψ函數，這就是依據薛丁格方程式解出的波函數，它的第二個衍生數一定跟原始波函數的形式一樣。一個波函數如果符合這個原則，它就是sine函數（正弦）。
3. 徐弘毅：波函數Ψ用來描述原子在特定能階上的電子的波狀運動，圍繞原子核的電子的波狀運動是有規律的，每個特定能階上的電子都有固定的波長、週期、振福。
4. 電子在第一個波的某一個位置點（第一個衍生數），轉過一個（或數個）週期之後會再回到同一個位置點（第二個衍生數），這就是所謂的「第二個衍生數一定跟原始的波函數一樣」。波的週期，就是一個完整的波長，或是自轉一圈的角度360°或弧度2π。
5. sine函數是以x軸的0為起點往上形成一個高峰，然後再下降穿過x軸形成一個凹谷，再往上穿過x軸形成一個高峰……，如此週而復始的波。在這裡x軸上的數字指的是，在不同時間點粒子旋轉的角度或弧度。
6. 這個波形來自於圍繞著中心軸一圈又一圈反覆旋轉的電子，我們把電子轉到每一個角度時，它與穿過中心軸的橫軸之間的距離用d代表，一一記錄在笛卡爾座標上，就出現一個以0為起點週而復始的波形，也就是一個sine函數。
7. 圍繞著中心軸旋轉的電子，也可以拿穿過中心軸的縱軸為標準，測量電子在各個角度與縱軸之間的距離d，一一記錄在笛卡爾座標上，就出現一個以波峰最高點為起點週而復始的波形，這樣的圖形是一個cosine函數圖形。在薛丁格推論第二衍生數的過程中，為了抓出公式的重點，他把sine函數改為cosine函數。
8. Steven S. Zumdahl：舉例來說，假設函數A sin(kx)，A和k是常數，現在我們要找到這個函數沿著x軸產生的第二個衍生數。
(d2/dx2)（A sin kx）
＝(A d/dx)（d sin kx/dx）＝(A d/dx)（k cos kx）
＝Ak（d cos kx/dx）＝ Ak（－k sin kx）
＝－Ak2 sin kx＝－k2(A sin kx)
9. 徐弘毅：依據簡單諧和運動的定義the Definition of Simple Harmonic Motion，一個有週期性的波，在特定時間點上的一個波動點與平衡位置的距離設定為d。
d＝a sin wt 或d＝a cos wt
l a是振幅，這是從最高點到平衡位置，或從最低點到平衡位置的距離。
l 2π/w是週期，2π是轉動一圈的弧度（360°），w是每秒波動的總共弧度（或角度），轉動一圈的距離除每秒波動的距離2π/w得到粒子轉動一圈的時間－週期。
l w/2π是頻率，w是每秒波動的距離（總共轉了多少弧度），2π是轉動一圈的距離（轉一圈的弧度），每秒波動的距離除轉動一圈的距離w/2π，得粒子每秒的轉動的次數－頻率。
10. 薛丁格方程式中的A sin kx與簡單諧和運動的公式定義看起來一樣，A就是指振幅a，wt就是kx，這是粒子在某一個時間點的角度，其中k推測是調整粒子回到下一個週期的比例數值。
11. (d2/dx2)（A sin kx）＝－k2(A sin kx)：薛丁格推算後發現，粒子從第一個週期的某一個點，再轉一圈回到第二個週期的同一點，都要乘上某個常數，左邊波函數A sin kx乘上d2/dx2，右邊波函數A sin kx乘上－k2。
12. Steven S. Zumdahl：結果我們發現
[d2（A sin kx）]/dx2＝－k2 (A sin kx)
這個波狀函數方程式與盒中粒子模型推論出來的薛丁格方程式，模式相同。
透過盒中粒子推論出的薛丁格方程式：
（ d2 /dx）2Ψ＝－（2 m E/ ℏ2）Ψ
注：Ψ是波函數，就是A sin kx。
與這個方程式比較
（d2/dx2）（A sin kx）＝－k2 (A sin kx)
以上二個方程式等號左邊是相同的（ d2 /dx）2Ψ就是（d2/dx2）（A sin kx），因此右邊波函數的係數也是相同的
－k2＝－ 2mE/ ℏ2
重新排列得到能量的方程式
E＝ℏ2 k2/2m
徐弘毅注：E＝ℏ2 k2/2m 是原子的某一顆電子的能量方程式。
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