盒中粒子模型（五）The Particle in a Box as a ModelⅤ

化學原理啟迪320

1.      Steven S. Zumdahl：當我們把一般的薛丁格方程式

d²Ψ/dx²＝－（2 m E/ ℏ²）Ψ

與波函數方程式比較

[d²（A sin kx）]/dx²＝－k² (A sin kx)

我們發現二個方程式的等號左邊是一樣的，因此等號右邊也是一樣的

－k²＝－ 2mE/ ℏ²

重新排列得到粒子（原子的電子）能量的方程式

E＝ℏ² k²/2m

Jaques Offenbach - Barcarole - Les Contes d'Hoffmann

2.     這個方程式的意義是什麼？我們已經定義A和k是常數，這些常數的價值是什麼？特別留意，如果這些常數可以是任何大小的數值，套進這個方程式可得到無限多種可能的能量－這是連續性的能階？

3.     然而這是不正確的，理由是我們的實驗已經發現，電子只會在某種特定能量的能階中圍繞原子核活動，也就是，原子的電子軌域系統是量化的。

4.     徐弘毅：圍繞原子核的電子有固定的能階，無法隨意改變能階，這種情形稱為量化。

5.     固定的能階意味著有固定大小的電子活動軌域，在軌域中活動的電子有特定的頻率、波長，以確保電子繞第一圈產生的波不會與繞第二圈的波互相干擾，而抵銷了電子的駐波。

6.     A是波的振幅，振幅是波的最高點或最低點到平衡位置之間的距離，因為圍繞原子核的電子波狀運動十分規律，所以振幅A是常數。

7.     k是將粒子在盒中移動的直線距離，換算成電子圍繞軌域中心旋轉的角度或弧度的比例值，所以k是一個固定的常數值。

8.     Steven S. Zumdahl：事實上，波動力學解釋/計算出的結果，符合觀察到的能量量化的天性，是說服我們相信「物質具有波的性質是正確的」一個重要因素。

9.     盒中的粒子在有邊界的環境下，它的波動力學行為是量化的；有邊界的環境來自於（原子的）天然原子系統的物理性質。

10.   徐弘毅：薛丁格用電子移動是波的概念，演繹出電子的能量，證明電子確實是波，並且薛丁格清楚定義一單位電子的能量，也證明電子是量化的。

11.   盒中粒子模擬原子的電子運動，粒子在盒子內的沿著x軸直線波狀運動時，存在著基本能量單位，如同圍繞原子核的電子。

12.   盒子設定邊界是為了反映原子的電子有固定的能階軌域，粒子在盒中來回一次再回到原點的路徑，等於電子圍繞原子核一圈。

13.   Steven S. Zumdahl：我們必須確立，我們描述的自然系統符合物理常識，舉例來說，描述一份酸性溶液，我們用方程式說明酸性大小[H⁺]²＝4.0×10^－8M²，依據這個方程式，溶液的酸性是

[H⁺]＝2.0×10^－8M 或[H⁺]＝－2.0×10^－8M

14.   當我們在解決這個問題時，我們自然會排除第二個可能的答案[H⁺]＝－2.0×10^－8M，因為負的濃度沒有任何物理上的意義。同樣的道理也應用在盒中粒子的邊界上。

15.   盒中粒子的邊界必須符合以下事實：

(1).粒子不能跑到盒子以外的空間－粒子必須在盒子裡面。

(2).在特定能階狀態下，盒中粒子的可能數量必須是1。

(3).波函數必須是連續性的。

16.   我們已經知道波函數functionψ＝A sin(kx)符合薛丁格方程式Ĥψ＝Eψ。我們將會定義常數k和A，使這個方程式符合以上三點事實，滿足構成邊界的條件。

17.     徐弘毅：盒中粒子象徵圍繞原子核的電子，所以

(1).粒子不能跑到盒子以外的空間，因為沒有外力介入下，圍繞原子核的電子不會偏離原本的能階軌域。

(2).在特定能階狀態下，盒中粒子的可能數量必須是1，因為一個能階軌域只允許一個特定自旋方式的電子。

(3). 盒中粒子的波函數必須是連續性的，因為電子圍繞原子核公轉是一種慣性運動，它會持續不斷地以波狀模式沿著軌道前進，所以描述它的波涵數必須是連續性的。

18.   Steven S. Zumdahl：因為粒子必須待在盒子裡面，並且波動函數必須是連續性的，ψ(x)在邊界牆上的數值是零。也就是，

ψ(0)＝0  並且ψ(L)＝0

19.   特別留意，在角度是0°、180°(π半徑)、360°(2π半徑)……依序類推（不停增加180°），sine 函數都是等於0。因此當ψ(x)＝0，A sin(kx)就會是0。

20.   徐弘毅：電子是圍繞軌道軸心不斷地旋轉前進的。如果我們以貫穿軸心的橫向x軸為平衡位置，電子從x軸上的平衡位置開始起算它的自轉。

21.   電子在x軸上的起點是0°、繞了半圈180°又抵達平衡位置x軸、再繼續繞半圈變成360°又回到平衡位置……，當電子抵達平衡位置，它與平衡位置之間的距離是0，也就是sine函數＝對邊/斜邊的「對邊」是0，因此sine函數是0。

22.   盒中粒子就是模擬原子的電子繞著軌道軸心旋轉的情形，因此當它移動到0°、180°、360°……時，它的波函數sine是等於0的。