化學原理啟迪315
1. Steven S. Zumdahl：薛丁格方程式有能量運算子Ĥ，在這裡，因為盒子裡的位能是零，因此粒子沿著x軸來回移動唯一的來源是動能。
HOLST - Venus from "The Planets Suite"
動能的運算子是
－ℏ2/2m‧d2/dx2
ℏ是普朗克常數h除以2π，m是粒子的質量，d2/dx2是x的第二個衍生數。運算子方程式來自於古典物理學對「波」的描述。
2. 徐弘毅：ℏ是普朗克常數h除以2π。普朗克常數是量子（能量粒子）轉一圈的能量h＝6.626×10－34Js；薛丁格把量子轉一圈當成1單位能量，這一圈除以圓周率π，就是這一圈能量的直徑，再除以2，就是這一圈能量的半徑，因此ℏ＝h/2π就是推動能量粒子旋轉一圈的半徑力量。
3. 所謂的量子轉一圈，到底是指「原子的電子自旋一圈，形成一個駐波」，還是「電子圍繞原子核公轉一圈」呢？從薛丁格設定的盒中粒子是象徵電子公轉一圈來看，量子轉一圈ℏ＝h/2π應該是指推動電子圍繞原子核公轉一圈的能量，這就是原子核牽引電子轉動的能量。
4. 因為量子移動的速度超乎想像地快速，瞬間就遍佈平面上的每一個點，如果用直線的角度來說明推動電子公轉一圈的力量會失真，因此推動電子公轉一圈的半徑能量應該要轉化成平面ℏ2＝（h/2π）2 才符合量子的特性。
5. 再詳細說明一次，薛丁格的盒中模型將量子在立體空間的運動壓縮到平面上觀察，而量子的特性是移動速度很快，可以同時抵達平面的每一個點；所以推動量子旋轉的半徑直線力量必須轉化成平面ℏ2，也就是推動電子圍繞原子核公轉一圈的能量是ℏ2。
6. 薛丁格所設定的盒中粒子模型，是在原子世界中的電子，電子在自己的能階中運動沒有位能，只有動能，所以量子的平面移動能量ℏ2只有包含動能，沒有位能。
7. 愛因斯坦認為，量子（電子、光子……）跟物質世界的原子、分子一樣是粒子，意思是量子有自己的質量，如同氧原子、碳原子各有自己的質量；由於每一種量子的質量不同，我們把量子（原子的電子）的能量除以質量ℏ2/m，這樣就得到量子每單位質量的動能。
8. 一般認為電子的質量都是一樣的，但是從薛丁格將電子圍繞原子核的（的能量除以質量ℏ2/m來看，薛丁格應該是認為，不同能階軌域的電子的質量是不一樣的，所以有必要取一個統一的衡量標準。
9. 再複習一次，薛丁格將電子圍繞原子核公轉一圈的立體運動，壓縮成盒中粒子的直線運動，因此，粒子沿著這一條直線從左到右，以及從右到左，各代表電子公轉半圈的距離。
10. 薛丁格將電子圍繞原子核公轉一圈的完整週期，轉化為盒中粒子的運動。電子圍繞原子核公轉一圈的完整週期就是粒子從最初的定點，往x軸的某一個方向移動，撞到第一面牆壁（象徵能量障壁）後，改變方向以原速度往前，然後撞到第二面牆壁，再反彈回到一開始的位置。
11. 盒中粒子從最初的定點，撞到盒子左右二面牆壁再回到原點的過程，是在描述原子的電子圍繞原子核公轉一圈回到原點的過程。
12. 電子圍繞原子核的軌道是由能量大小一樣的半圓環組成的，盒中粒子移動的x軸直線距離等於電子圍繞原子核轉半圈，所以薛丁格再把電子圍繞原子核公轉一圈的能量除以二：（ℏ2/m）÷2，這等於盒中粒子模型中x軸線的距離。
13. 再說明一次， ℏ2/2m是電子圍繞原子核公轉半圈的能量，這就是盒中粒子在平面上的x軸線從牆壁的這一端走到牆壁另一端的距離；如果沒有÷2，ℏ2/m所指的是盒中粒子沿著x軸線來回各一次，也就是沿著x軸走2次的能量。
14. 第二個衍生數d2/dx2的d 應該是指粒子移動的距離，d2/dx2指的是粒子移動的距離占x軸線的長度比例。
15. 再複習一次，ℏ2/2m是電子圍繞原子核公轉半圈的能量，等於盒中粒子模型中的x軸線的長度。
16. 所以（ℏ2/2m） ×（d2/dx2）是盒中粒子在「x軸線全長移動的總動能」×「粒子移動距離占x軸線的長度比例」＝粒子移動一小段距離的能量。如果移動距離d是一個完整周波的波長，那計算出來的就是一個波的能量。
17. 因為盒中粒子代表的是圍繞原子核的電子，因此，盒中粒子移動一小段距離的能量，就是圍繞原子核的電子移動一小段距離的能量。
18. 為什麼粒子移動的距離d2要用平方？因為量子的移動速度超級快，同時遍佈量子波狀運動可及的每一個角落，因此量子所涵蓋的範圍不是直線，而是一個平面。
19. 薛丁格定義圍繞原子核的電子波的能量，是－ℏ2/2m‧d2/dx2，為什麼電子的能量是負號「－」？因為波爾當初提出的氫原子模型，將脫離原子核控制的電子的能階定義為0，相比之下，被原子核控制的電子能階就是負數。
20. 波爾建立，電子圍繞原子核的最簡單模型，提出能階的概念，計算出電子轉換能階的「能量變化」；
21. 德布羅意證明，電子是以「波的模式」運動前進。德布羅意與波爾的理論加起來推論出，原子核周圍是電子移動形成的駐波。
22. 薛丁格綜合二位大師的成果，挑戰新的量子力學境界，他將電子圍繞原子核公轉的模型簡化成「盒中粒子模型」，計算出圍繞原子核公轉的電子的每一個周波的能量，他要在細膩度上超越老前輩。
以上的推論是正確的嗎？有哪些地方需要修正呢？
d^2/dx^2 不是對x為分兩次嗎(還沒放函數)不太懂耶
回覆刪除徐弘毅：
回覆刪除薛丁格方程式，只有薛丁格本人最懂，我們其他人都是努力的瞭解與解釋，你可以看網路上或其他版本原文教科書的解釋，我分享個人的淺見如下：
首先要問分母的dx2是什麼？
d是量子上下波動的距離，也就是振幅。(d是距離的意思)
x是量子圍繞原子核，走一圈的直徑距離。
x2是量子圍繞原子核走一圈的平面面積。(這應該要是圓形的平面，但是薛丁格要簡化問題，因此直接將直徑平方，用正方形面積代表。)
dx2是 「量子上下波動的振幅距離」乘上「量子圍繞原子核活動的平面面積」，所構成的一個「立體」的能量區塊。
為什麼要將能量看成立體的？因為能量是高度動能、活潑、滿布空間，所以，能量不能看成一個靜止的點、一條線或一個平面。
那麼，d2是什麼？量子在環繞原子核的軌道上，上下波動的距離(振幅)所形成的平面。在這裡是指一個周波的能量。
d2/dx2是指，量子一個周波的能量平面，佔量子繞一圈的整體能量(立體的)的比例。如果是1/10，就代表d2 占有1/10的dx2
再補充解釋一下d2和dx2這兩者有什麼不同？
d2是量子移動一個周波的能量，這反映量子本身的動能；
dx2是量子和控制它的原子核彼此之間引力與斥力所構成的能量空間。
引力是指原子核與量子正負電相吸的力量，斥力來自於量子移動產生的離心力。
你問說「x分兩次」，這是不是在問「二次方」的意義？
數學，是一種描述物質世界的語言，就像現在流行用手機自拍來描述自己的長相一樣。數學家用「次方/指數」描寫這是幾度空間：一次方是一度空間，也就是一條線；二次方是二度空間，也就是指一個面；三次方是三度空間，也就是立方體的世界。
你會有些困擾，是因為從小學到高中，我們都在練習計算，21=2×1=2、22=2×2=4、23=2×2×2=8。我們已經被訓練成一台電子計算機，看到次方的反射動作就是運算。但是，次方或指數設計目的之一是要描述物質世界「空間」狀態，所以，我們不只要計算出數據，也要能夠想像那是什麼樣的世界？
其次，你談到「還沒有放函數」，其實，d2/dx2就是一種函數，不是國高中學的f(x)=x2+2x……才叫做函數。那到底函數的意義是什麼？
數學家從一個複雜的東西裡，找到它變化所依循的規則，判斷清楚他們彼此變化的連動關係、因果關係、互相抵銷的關係，用代數(x、y、x、d)和加減乘除，將這個規則建立起來，就可以清楚了解這是什麼樣的東西。用代數和四則運算描述規則寫出的方程式，就是函數。
d2/dx2就是指環繞原子核移動的量子，它每一個周波的能量，占環繞原子核一圈的總能量之比例，這是在講一種量子運動的規則，函數就是規則。
九九乘法表就是從1到9的乘法規則，函數是比九九乘法表更複雜一點的規則。籃球比賽有它的規則，足球比賽有它的規則，棒球比賽有它的規則，這些規則就是數學家所說的函數。
換句話說，以數學家的眼光來看，籃球比賽有它獨特的函數，足球比賽有它獨特的函數，棒球比賽有它獨特的函數。函數，就是規則的意思。
愛因斯坦光電效應理論裡的量子，為什麼與薛丁格方程式的量子不一樣？
愛因斯坦E=mc2的公式，是描述一個自由、獨立的量子。愛因斯坦在定義量子的能量時，只考慮量子本身的質量(m)，顯然他是將量子視為一顆「粒子」;他用光速c去計算量子移動的能量，因為他談論的量子，是不受外力控制的、可以直線前進的自由粒子。
薛丁格方程式描述的是，被原子核控制的量子。薛丁格用波的振幅d來計算量子的能量，顯然他是將量子視為一個「波」；他將直徑x列入計算，那是因為他描述的量子，是受到原子核控制的，無法直線運動，必須環繞原子核一圈一圈地移動。
第二篇回應 盒中粒子模型(二) The Particle in a Box as a ModelⅡ
回覆刪除網友：d2/dx2不是對x為分(微分？)兩次嗎(還沒放函數)不太懂耶？
徐弘毅：
1. 我發現自己沒看清楚你的問題，因此再回答一下。你應該是問：dx2不是對x微分兩次嗎？你說的對。
2. 什麼是微分？就是用一條長度接近的直線，模擬一條曲線。
3. 為什麼要這樣做？因為曲線不直，很難計算長度，所以，數學家將曲線拉直，來測量長度，這就是當初發明微分的目的。
4. 為什麼要用微分來計算量子的移動？因為量子的移動不是筆直的，而是波動的，也就是它的移動路徑是圓弧狀的曲線，因此，數學家在曲線旁拉一條近似長度的直線，來計算量子移動的距離。
5. 為什麼薛丁格要對量子x微分兩次？因為薛丁格所研究的量子，是一顆被原子核控制的量子，這顆量子環繞原子核走一圈又一圈；
6. 量子走一圈所構成的圓周，是由兩個半圓曲線所構成，每一個半圓曲線各微分一次，就是微分兩次；對一個圓微分兩次，就是畫兩條模擬它圓周長度的直線。
7. 但是量子不是靜止的一個點，量子是動態的，量子的活動反映他自己的能量，也反映原子核與量子之間的引力關係，所以，我們用圓周線來說明量子移動一圈的能量不夠，我們必須用圓平面來說明量子圍繞原子核一圈的能量。
8. 因此，微分兩次，就是用一個正方形模擬量子環繞原子核走一圈的圓面積。以微分的方法來計算，就是這個圓旁邊兩條筆直的切線，所構成的正方形平面面積。
9. 雖然微分所算出的正方形面積，跟量子實際的圓型面積，有點落差，但是，這已經是最接近事實的答案了，所以，薛丁格用微分所得到的正方形面積，來代表量子圍繞原子核轉一圈的面積。
10. 化繁為簡是數學存在的目的，微分將不規則、曲折的世界，簡化成直線與方正的面積，這項知識，使人類能夠應用量子來改善物質世界。
11. 就像電腦與網路的發明，擴充人類的知識與眼界，促使文化交流、社會公平；科學的起點是改善物質的世界，終點是改善人類的心靈，使人類社會不斷地進步，愈來愈公平正義，永續發展。