2012年6月3日 星期日

盒中粒子模型(二) The Particle in a Box as a ModelⅡ


化學原理啟迪315
1.     Steven S. Zumdahl薛丁格方程式有能量運算子Ĥ,在這裡,因為盒子裡的位能,因此粒子沿著x軸來回移動唯一的來源是動能
HOLST - Venus from "The Planets Suite"


動能的運算子是
2/2md2/dx2
是普朗克常數h除以m是粒子的質量,d2/dx2x的第二個衍生數。運算子方程式來自於古典物理學對「波」的描述。
2.     徐弘毅:是普朗克常數h除以。普朗克常數是量子(能量粒子)轉一圈的能量h6.626×1034Js;薛丁格把量子轉一圈當成1單位能量,這一圈除以圓周率π,就是這一圈能量的直徑,再除以2,就是這一圈能量的半徑,因此h/2π就是推動能量粒子旋轉一圈的半徑力量。
3.     所謂的量子轉一圈,到底是指「原子的電子自旋一圈,形成一個駐波」,還是「電子圍繞原子核公轉一圈」呢?從薛丁格設定的盒中粒子是象徵電子公轉一圈來看,量子轉一圈h/2π應該是指推動電子圍繞原子核公轉一圈的能量,這就是原子核牽引電子轉動的能量
4.     因為量子移動的速度超乎想像地快速,瞬間就遍佈平面上的每一個點,如果用直線的角度來說明推動電子公轉一圈的力量會失真,因此推動電子公轉一圈的半徑能量應該要轉化成平面2=(h/2π2  才符合量子的特性。
5.     再詳細說明一次,薛丁格的盒中模型將量子在立體空間的運動壓縮到平面上觀察,而量子的特性是移動速度很快,可以同時抵達平面的每一個點;所以推動量子旋轉的半徑直線力量必須轉化成平面2,也就是推動電子圍繞原子核公轉一圈的能量是2
6.     薛丁格所設定的盒中粒子模型,是在原子世界中的電子,電子在自己的能階中運動沒有位能只有動能,所以量子的平面移動能量2只有包含動能,沒有位能。
7.     愛因斯坦認為,量子(電子、光子……)跟物質世界的原子、分子一樣是粒子,意思是量子有自己的質量,如同氧原子、碳原子各有自己的質量;由於每一種量子的質量不同,我們把量子(原子的電子)的能量除以質量2/m,這樣就得到量子每單位質量的動能
8.     一般認為電子的質量都是一樣的,但是從薛丁格將電子圍繞原子核的(的能量除以質量2/m來看,薛丁格應該是認為,不同能階軌域的電子的質量是不一樣的,所以有必要取一個統一的衡量標準。
9.     再複習一次,薛丁格將電子圍繞原子核公轉一圈的立體運動,壓縮成盒中粒子的直線運動,因此,粒子沿著這一條直線從左到右,以及從右到左,各代表電子公轉半圈的距離。
10.   薛丁格將電子圍繞原子核公轉一圈的完整週期,轉化為盒中粒子的運動。電子圍繞原子核公轉一圈的完整週期就是粒子從最初的定點,往x軸的某一個方向移動,撞到第一面牆壁(象徵能量障壁)後,改變方向以原速度往前,然後撞到第二面牆壁,再反彈回到一開始的位置。
11.   盒中粒子從最初的定點,撞到盒子左右二面牆壁再回到原點的過程,是在描述原子的電子圍繞原子核公轉一圈回到原點的過程。
12.   電子圍繞原子核的軌道是由能量大小一樣的半圓環組成的,盒中粒子移動的x軸直線距離等於電子圍繞原子核轉半圈,所以薛丁格再把電子圍繞原子核公轉一圈的能量除以二:(2/m÷2這等於盒中粒子模型中x軸線的距離。
13.   再說明一次, 2/2m是電子圍繞原子核公轉半圈的能量,這就是盒中粒子在平面上的x軸線從牆壁的這一端走到牆壁另一端的距離;如果沒有÷22/m所指的是盒中粒子沿著x軸線來回各一次,也就是沿著x軸走2次的能量。
14.   第二個衍生數d2/dx2d 應該是指粒子移動的距離,d2/dx2指的是粒子移動的距離占x軸線的長度比例。
15.   再複習一次,2/2m是電子圍繞原子核公轉半圈的能量,等於盒中粒子模型中的x軸線的長度。
16.   所以(2/2m ×d2/dx2是盒中粒子在「x軸線全長移動的總動能」×「粒子移動距離占x軸線的長度比例」=粒子移動一小段距離的能量。如果移動距離d是一個完整周波的波長,那計算出來的就是一個波的能量。
17.   因為盒中粒子代表的是圍繞原子核的電子,因此,盒中粒子移動一小段距離的能量,就是圍繞原子核的電子移動一小段距離的能量。
18.   為什麼粒子移動的距離d2要用平方?因為量子的移動速度超級快,同時遍佈量子波狀運動可及的每一個角落,因此量子所涵蓋的範圍不是直線,而是一個平面。
19. 薛丁格定義圍繞原子核的電子波的能量,是2/2md2/dx2為什麼電子的能量是負號「」?因為波爾當初提出的氫原子模型,將脫離原子核控制的電子的能階定義為0,相比之下,被原子核控制的電子能階就是負數。
20.    波爾建立,電子圍繞原子核的最簡單模型,提出能階的概念,計算出電子轉換能階的「能量變化」;
21.   德布羅意證明,電子是以「波的模式」運動前進。德布羅意與波爾的理論加起來推論出,原子核周圍是電子移動形成的駐波。
22.   薛丁格綜合二位大師的成果,挑戰新的量子力學境界,他將電子圍繞原子核公轉的模型簡化成「盒中粒子模型」,計算出圍繞原子核公轉的電子的每一個周波的能量,他要在細膩度上超越老前輩。
以上的推論是正確的嗎?有哪些地方需要修正呢?


3 則留言:

  1. d^2/dx^2 不是對x為分兩次嗎(還沒放函數)不太懂耶

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  2. 徐弘毅:
    薛丁格方程式,只有薛丁格本人最懂,我們其他人都是努力的瞭解與解釋,你可以看網路上或其他版本原文教科書的解釋,我分享個人的淺見如下:
    首先要問分母的dx2是什麼?
    d是量子上下波動的距離,也就是振幅。(d是距離的意思)
    x是量子圍繞原子核,走一圈的直徑距離。
    x2是量子圍繞原子核走一圈的平面面積。(這應該要是圓形的平面,但是薛丁格要簡化問題,因此直接將直徑平方,用正方形面積代表。)

    dx2是 「量子上下波動的振幅距離」乘上「量子圍繞原子核活動的平面面積」,所構成的一個「立體」的能量區塊。
    為什麼要將能量看成立體的?因為能量是高度動能、活潑、滿布空間,所以,能量不能看成一個靜止的點、一條線或一個平面。
    那麼,d2是什麼?量子在環繞原子核的軌道上,上下波動的距離(振幅)所形成的平面。在這裡是指一個周波的能量。
    d2/dx2是指,量子一個周波的能量平面,佔量子繞一圈的整體能量(立體的)的比例。如果是1/10,就代表d2 占有1/10的dx2
    再補充解釋一下d2和dx2這兩者有什麼不同?
    d2是量子移動一個周波的能量,這反映量子本身的動能;
    dx2是量子和控制它的原子核彼此之間引力與斥力所構成的能量空間。
    引力是指原子核與量子正負電相吸的力量,斥力來自於量子移動產生的離心力。

    你問說「x分兩次」,這是不是在問「二次方」的意義?
    數學,是一種描述物質世界的語言,就像現在流行用手機自拍來描述自己的長相一樣。數學家用「次方/指數」描寫這是幾度空間:一次方是一度空間,也就是一條線;二次方是二度空間,也就是指一個面;三次方是三度空間,也就是立方體的世界。
    你會有些困擾,是因為從小學到高中,我們都在練習計算,21=2×1=2、22=2×2=4、23=2×2×2=8。我們已經被訓練成一台電子計算機,看到次方的反射動作就是運算。但是,次方或指數設計目的之一是要描述物質世界「空間」狀態,所以,我們不只要計算出數據,也要能夠想像那是什麼樣的世界?
    其次,你談到「還沒有放函數」,其實,d2/dx2就是一種函數,不是國高中學的f(x)=x2+2x……才叫做函數。那到底函數的意義是什麼?
    數學家從一個複雜的東西裡,找到它變化所依循的規則,判斷清楚他們彼此變化的連動關係、因果關係、互相抵銷的關係,用代數(x、y、x、d)和加減乘除,將這個規則建立起來,就可以清楚了解這是什麼樣的東西。用代數和四則運算描述規則寫出的方程式,就是函數。
    d2/dx2就是指環繞原子核移動的量子,它每一個周波的能量,占環繞原子核一圈的總能量之比例,這是在講一種量子運動的規則,函數就是規則。
    九九乘法表就是從1到9的乘法規則,函數是比九九乘法表更複雜一點的規則。籃球比賽有它的規則,足球比賽有它的規則,棒球比賽有它的規則,這些規則就是數學家所說的函數。
    換句話說,以數學家的眼光來看,籃球比賽有它獨特的函數,足球比賽有它獨特的函數,棒球比賽有它獨特的函數。函數,就是規則的意思。

    愛因斯坦光電效應理論裡的量子,為什麼與薛丁格方程式的量子不一樣?
    愛因斯坦E=mc2的公式,是描述一個自由、獨立的量子。愛因斯坦在定義量子的能量時,只考慮量子本身的質量(m),顯然他是將量子視為一顆「粒子」;他用光速c去計算量子移動的能量,因為他談論的量子,是不受外力控制的、可以直線前進的自由粒子。
    薛丁格方程式描述的是,被原子核控制的量子。薛丁格用波的振幅d來計算量子的能量,顯然他是將量子視為一個「波」;他將直徑x列入計算,那是因為他描述的量子,是受到原子核控制的,無法直線運動,必須環繞原子核一圈一圈地移動。

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  3. 第二篇回應 盒中粒子模型(二) The Particle in a Box as a ModelⅡ

    網友:d2/dx2不是對x為分(微分?)兩次嗎(還沒放函數)不太懂耶?

    徐弘毅:
    1. 我發現自己沒看清楚你的問題,因此再回答一下。你應該是問:dx2不是對x微分兩次嗎?你說的對。
    2. 什麼是微分?就是用一條長度接近的直線,模擬一條曲線。
    3. 為什麼要這樣做?因為曲線不直,很難計算長度,所以,數學家將曲線拉直,來測量長度,這就是當初發明微分的目的。
    4. 為什麼要用微分來計算量子的移動?因為量子的移動不是筆直的,而是波動的,也就是它的移動路徑是圓弧狀的曲線,因此,數學家在曲線旁拉一條近似長度的直線,來計算量子移動的距離。
    5. 為什麼薛丁格要對量子x微分兩次?因為薛丁格所研究的量子,是一顆被原子核控制的量子,這顆量子環繞原子核走一圈又一圈;
    6. 量子走一圈所構成的圓周,是由兩個半圓曲線所構成,每一個半圓曲線各微分一次,就是微分兩次;對一個圓微分兩次,就是畫兩條模擬它圓周長度的直線。
    7. 但是量子不是靜止的一個點,量子是動態的,量子的活動反映他自己的能量,也反映原子核與量子之間的引力關係,所以,我們用圓周線來說明量子移動一圈的能量不夠,我們必須用圓平面來說明量子圍繞原子核一圈的能量。
    8. 因此,微分兩次,就是用一個正方形模擬量子環繞原子核走一圈的圓面積。以微分的方法來計算,就是這個圓旁邊兩條筆直的切線,所構成的正方形平面面積。
    9. 雖然微分所算出的正方形面積,跟量子實際的圓型面積,有點落差,但是,這已經是最接近事實的答案了,所以,薛丁格用微分所得到的正方形面積,來代表量子圍繞原子核轉一圈的面積。
    10. 化繁為簡是數學存在的目的,微分將不規則、曲折的世界,簡化成直線與方正的面積,這項知識,使人類能夠應用量子來改善物質世界。
    11. 就像電腦與網路的發明,擴充人類的知識與眼界,促使文化交流、社會公平;科學的起點是改善物質的世界,終點是改善人類的心靈,使人類社會不斷地進步,愈來愈公平正義,永續發展。


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