2011年9月10日 星期六

亂度(熵)的定義 The Definition of Entropy

化學原理啟迪238

1.     亂度機率有關。假設有一個系統經歷某種程序之後會得到許多種可能的狀態,其中,最多管道可達成的狀態,是最可能發生的狀態。出現機率最高的狀態擁有最大的亂度

2.     現在我們透過亂度函數S的定義,把亂度機率的量連結在一起:

SkB In Ω

3.     1KBBoltzmann’s常數=1.38066×1023 J/K,這是每1個分子的氣體常數(R/NA),因此KB是指每個分子每1度標準溫度的能量。

4.     2Ω=特定狀態的微觀狀態數值(達成某個狀態到底有多少組合數量),包括位置與能量

5.     3In指底數為「自然對數e」,「e」是一個氣體分子移動最短距離(一個周波)的能量

6.     e是一個本金與複利不斷累加的結果。例如本金是1元,年利100%,一年計算4次利息,每次的利率就是25%,一年得到的利息是1×(1+25%)×(1+25%)×(1+25%)×(1+25%)2.44140625。如果一年計算利息的次數趨向於無限大,那就是lim 11+1/nn2.7182818……。

7.     為什麼分子的移動符合「本金加複利」的模式?因為分子的移動速度非常快,快到第1步的位置與第2步的位置幾乎重疊,同樣的,第2步與第3步、第3步與第4步……第n1步與第n步,差異都非常小,代表這就是一個可逆程序。

8.     分子移動的每1步與下1步之間差異非常小,因此整個分子的運動就像一條連貫的直線(或波),這也說明分子的移動是以無限多步驟組成。假設分子的能量單位是1,移動一段距離中間所走的步驟是n,那麼移動完成這一小段距離,分子使用的能量是lim 11+1/nn2.7182818……。

9.     4InΩ 氣體分子達到特定狀態(機率最高的狀態)需要走的路徑數KB InΩ氣體分子達到特定狀態花費的總能量,也就是亂度的能量

10.  亂度的定義顯示出它與機率的關係,但是這個定義對化學家來說沒有那麼實用,因為一般化學反應用到的物質含有非常多的化合物(因為亂度的定義指是推動每一個分子的能量)。

11.  舉例來說,1mole的氣體含有6.022×1023個粒子,如果把這1mole粒子的位置和速率都列入計算,可能需要10光年高的紙來攔截粒子的能量,而這還只是一瞬間的情況。

12.  顯然,我們不能用亂度的定義來衡量平常樣品使用的物質份量,我們必須另外找一個方法來分析大量物質的性質與亂度的關係。為了解決這個問題,我們將研究理想氣體在等溫下,從體積V1擴張到體積2V1的情形。

13.  我們先專注在這份理想氣體的1顆粒子上,當氣體從體積V1變成2V1的時候,每個氣體粒子的可移動位置增加為2倍,也就是Ω21

14.  現在我們將利用亂度的定義,計算擴散後的亂度ΔS。因為,S1KBInΩ1S2KBInΩ 2,所以

ΔS

S2S1

KBInΩ2KBInΩ1

KBIn(Ω2/Ω1)

KBIn(2Ω1/Ω1)

KBIn2

這就是氣體中每個粒子的亂度變化ΔS的量

15.  如果氣體有5個粒子,Ω2Ω1的比例

Ω2/Ω12×2×2×2×225

2說明一個事實,當氣體的體積從V1擴張為2倍變成2V1時,每個氣體分子也增加2倍的移動位置。

16.  同樣的道理也可套用在1 mole分子的化學物質上

Ω2/Ω12 6×10 ︿23次方

ΔSKBIn2 6×10︿ 23次方)=(6×1023)(KBIn2

NAKBIn2 R In2

注:R是氣體常數。

17.  一般而言,當氣體的體積從V1擴張為V2,氣體的微觀狀態數量Ω1Ω2的比例也跟著調整

Ω2/Ω1V2/ V1

18.  1mole氣體的亂度變化就是

ΔSV1→V2R InV2/V1

19.  如果進行擴張的是n moles的氣體,亂度變化是

ΔSV1→V2n R InV2/V1

20.  到目前為止,我們已經做到,利用機率所寫的亂度定義,推演出亂度變化的公式;亂度變化的大小,取決於氣體體積的變化,這是氣體的巨觀性質(一大堆氣體粒子的性質)。

21.  接下來,我們透過尋找亂度公式ΔSV1→V2n R InV2/V1)與理想氣體等溫「擴張壓縮」的熱能公式q rev的共通性,建立亂度變化與熱流動之間的關係。

22.  我們將以下二個公式互相比較

ΔSn R InV2/V1)並且q revn RT InV2/V1

綜合這二個公式得到

ΔSq rev/T

這個重要的關係式是巨觀(熱力學)的亂度變化ΔS的定義。

23.  我們一開始先討論亂度的定義這個亂度定義的基礎是機率,因為亂度的定義能更清楚說明亂度的基本性質,然而有一點也十分重要,我們應瞭解「亂度的改變度」與「巨觀性質的改變度」(大量物質的性質改變情形)有什麼關係,這些性質包括體積和熱,因為這些性質的改變是比較容易測量的。

n   翻譯編寫Steven S. Zumdahl Chemical Principles

徐弘毅:

1.     亂度的定義SkB In Ω「亂度」是,一顆分子每一度的「能量」,乘上這個分子達到「最大機率狀態」所移動的「路徑數量」。

2.     每一個人類都會追求自由,只是「行動力」每一個人程度不同愈理性、愈博學多聞、愈有專業素養的人,自由度就愈大

3.     一個追求理性、自由的人,他一定不斷地追求擴大生活的空間與視野,並且與自然生態、其他人類保持理性、和平與恰當的距離。人類在追求自由的同時,往往會被沒有知識水準又保守的人視為混亂的來源

4.     每一個人若要追求理性與自由,都需要耗盡許多的時間與精力,同時還要很多的反省與思考。每一個影響時代發展的大師,都容易被視為當時時代混亂的來源,但實際上他們都在提升整體人類的理性與自由度。

5.     有許多高學歷但是沒有真才實學的人,非常喜歡附庸風雅,背誦名人的言論,但是實際上無法實踐,他們只是在盜取別人的智慧,換取自己的自私自利,實際上是社會敗類,也是阻礙社會進步的根源;絕大多數的權貴階級或鼓勵別人當史懷哲的權貴,都屬於這一類的人。

6.     亂度是與機率有關的數值。如果密封這1顆氣體分子的空間,體積增加2倍,那麼氣體可移動的位置機率也會增加2倍;由此可知,亂度是會隨著體積大小而變化的數值。

7.     人類生活居住的「土地空間」如果愈大,人民生活的空間就愈大、愈自由狹小、沒有經過完善規劃的都市,實際上藏污納垢,充滿拜金主義,笑貧不笑娼,這就是台北市多數人的生活氣氛,時間久了就養成習慣;最拜金主義的就是台北市的公務人員,他們強調生命以「全民拚經濟」、「兩岸一起賺全世界的錢」為目的。

8.     拜金主義的人一定喜歡附庸風雅、穿名牌、阿諛奉承、做表面功夫、兩副面孔、說到做不到、不守信用、政見跳票、跟AIT打小報告……,會養成這種生活習慣也因為生活空間狹窄,造成他們眼光短淺、目光如豆,導致心胸狹窄、短視近利。這也是長時間生活在台北市的行政院多數文官的共同特徵

9.     如果空間內不是1顆氣體分子,而是5顆氣體分子,那麼體積增加2倍,代表每個氣體分子可移動的位置機率增加2倍,5個氣體分子增加的位置機率是2×2×2×2×225亂度是與氣體分子數量有關的數值。

10.  都市如果人口愈多愈擁擠,人心就愈險惡,犯罪率就愈高。全世界人口密度大的大都市,政府官員的腐爛程度也是最高的。所以,台灣內政部鼓勵百姓「多生小孩」,是一種違反節能減碳、破壞自然環境生態、增加犯罪率的愚蠢政策。

11.  比較亂度變化的公式ΔSV1→V2n R InV2/V1)與理想氣體在等溫下「擴張壓縮」的熱能公式q rev,發現亂度的變化與每一度的熱能多寡有關:

ΔSq rev/T

12.  每一個人都在追求自由與發展,但是一個人「自由」是一種能力,「發展」也需要能力沒有不斷充實知識、拓展生活經驗的人,他的「生命能量」一定會逐漸地降低,他對任何的事情都沒有熱情或好奇心,因此心靈逐漸枯竭,導致失去生命發展的潛能,實際上生活與心靈的空間也愈來愈狹窄,也愈來愈不自由。

 

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