多項式因式分解 Factoring Polynomials

代數16

1.     多項式的公因數polynomials with Common Factors。將一個多項式分解成二個或二個以上多項式的乘積的作法，稱為因式分解factoring。因式分解是解開方程式與簡化方程式的重要工具。

Bach - Minuet in G Major, BWV Anh. 114 

2.     除非是特例，大部分的情況下，當你要找一個多項式的因數時，你可以設定自己先尋找係數的整數公因數。

3.     如果一個多項式的係數沒有辦法再挑出整數的公因數，那麼，這樣的多項式稱為質數prime，質數就是無法再化約分解的整數irreducible over the integers。舉例來說，多項式x²－3，裡面的係數是無法再化約的整數，因此多項式x²－3是質數。

4.     假設以下多項式的代數x所代表的是實數，這個多項式可以被因式分解為：

x²－3＝（x＋√3）（x－√3）

5.     當一個多項式分解後的每一個因式都是質數，這就是完全分解completely factored。舉例來說：

x³－x²＋4x－4＝（x－1）（x²＋4）

是完全分解，但是

x³－x²－4x＋4＝（x－1）（x²－4）

還沒有完全分解。以上多項式完全分解的狀態是

x³－x²－4x＋4＝（x－1）（x＋2）（x－2）

6.     多項式最簡單的因數分解寫法是寫成一個單項是和其他多項式的乘積。我們利用乘法分配率distributive property：a（b＋c）＝ab＋ac，將等式前後的數值顛倒：

ab＋ac＝a（b＋c）

完全分解一個多項式（ab＋ac）的第一步驟就是將係數的公因數（a）抽取出來，移到括弧的外頭a（b＋c）。

7.     【例題】挑出公因數Removing Common Factors

找出以下每個方程式的公約數。

a.6x³－4x

b.－4x²＋12x－16

c.（x－2）（2x）＋（x－2）（3）

【解題】

a.6x³－4x＝2x（3x²）－2x（2）

2x是公因數

b.－4x²＋12x－16

＝－4（x²）＋（－4）（－3x）＋（－4）4

＝－4（x²－3x＋4）

－4是公因數

c.（x－2）（2x）＋（x－2）（3）＝（x－2）（2x＋3）

（x－2）是公因數

n   翻譯編寫Ron Larson and David C. Falvo《Algebra and Trigonometry》