化學原理啟迪322
1. Steven S. Zumdahl：現在我們知道k和A的數值，那麼我們就可以知道在一度空間的盒中粒子的波動函數
Mozart - Piano Sonata No. 11 in A major, K. 331 - I.
2. 我們也可以把k的數值代入能量方程式
E＝ℏ2k2/2m＝[2 ℏ2(nπ/L) 2]/2m
3. 將ℏ＝h/2π得到
4. 特別留意，當我們把各種整數代入薛丁格方程式，會得到一系列的答案，使每一種位置的粒子的波動函數都反應它們特定的能量狀態
5. 以上這些結果有幾個重要的地方值得留意。盒中粒子模型這個有邊界的環境條件下所推算出來的波函數與波能量，導引出一系列量化quantized的能階。
6. 盒中的粒子只允許某幾種特定的能量；這個推論結果符合實驗證據，例如氫原子放射光譜；一個有界線的空間本來就無法允許波狀前進的粒子隨意變換各種能量來前進，也就是無法允許連續性能階。
7. 特別留意，在盒中波狀前進的粒子的能量是量化的。因為在有邊界的空間條件下，n必須是整數。因此我們稱n是這個系統的量子數quantum number。
8. 徐弘毅：盒中粒子模型模擬原子的電子，原子的電子都有固定的能階軌域，不會隨意改變大小，因此模擬它的盒子必須是「有邊界的空間」。
9. 原子的電子改變能量時，是從某一個特定的能階軌域，跳到另一個能階軌域，中間沒有模糊地帶，所以說明能階的量子數n必須是整數，不能有小數點（小數點代表電子轉移能階過程存在模糊地帶），這種運動模式的電子能量是量化的。
10. Steven S. Zumdahl：盒中粒子模型解開的各個能階數值都能夠轉化成波函數圖表，反應粒子（圍繞原子核的電子）的能階、波函數與分佈機率。
11. 特別留意，每當粒子抵達盒子的牆壁時，粒子的波就會變成0，這是有邊界的環境條件下必須做出的設定。
12. 另一個解釋這個現象的理由是，圍繞原子核的電子波是駐波，因此粒子的波長大小是有限制的，粒子半個波長的整數倍必須剛好等於盒子的寬度；如果粒子的波長不是如此，那麼粒子折返時一定會對原先的能量波產生破壞性干涉。
13. 此外，從圖表得知，這三個能階的波動分佈機率明顯不同。第一能階n＝1（最低能階、基態能階）的粒子比較容易出現在盒子的中央。相反地，第二能階n＝2的粒子，要在盒子的中央出現的機率是零。能量為0的點稱為波節node。特別留意，隨著能階n增加，波節的數目也增加。
14. 盒中粒子另一個特性是粒子的能階不會是零，n≠0。如果能階是零 n=0，零能階的粒子在盒中任何一個地方的波函數ψ0也會是零（sin0＝0）。這也意味著波函數ψ02的平方也是零。
15. 波函數ψ0是零代表，粒子在盒中任何一個地方的出現的機率是零，只有當盒子裡面沒有任何粒子才會出現這種情況，這種情況與有界線的空間條件相反。
16. 徐弘毅：盒子粒子是模擬原子的電子，圍繞原子核的電子有固定的軌道，因此模擬它運動的盒中粒子模型，盒子也是有固定長度的、這有界線的空間。
17. 盒中沒有粒子描述的情況是，電子不再圍繞原子核公轉，因此原子核控制範圍內沒有電子，電子在不受原子核控制的外在世界移動，這是與原子系統相反的情況。
18. Steven S. Zumdahl：模擬原子系統的盒中粒子的基態的能量必須不等於零，這是所有量化能階的粒子（原子控制的電子）的共同特性。
19. 此外，盒中粒子的能量如果是零代表這顆粒子是靜止不動的（動能是零）。這是違反海森堡不確定原理的，因為靜止不動的粒子，在我們明確知道它的位置的同時，也明確知道它的能量是零。
20. 基於類似的理由，所有量化的粒子都有一個最小能量，稱為零點能量zero-point energy（原子控制的電子在基態的能量）。
21. 【例題】假設有一顆電子被鎖在一度空間的盒子中，這個盒子的長度是1.50nm。計算這顆電子的最低能階是，並且計算要將這顆電子從基態推進到第一個激態所需的光能波長是多少？
22. 【解題】我們將利用薛丁格從盒中粒子模型推論出來的能階方程式解開這個問題
E＝(n2h2)÷(8mL2)
為了要解開電子能階的問題，我們需要將一些數值代入上述的方程式；電子的質量(m)是9.11×10－31kg，盒子的寬度是1.50nm，或1.50×10－9m；普朗克常數是6.626×10－34Js
在第一能階n＝1，我們計算出來的電子能量是
E1
＝〔(1)2(6.626×10－34Js)2〕÷〔(8)(9.11×10－31kg)(1.50×10－9m)2〕
＝2.68×10－20J
同樣地，在第二能階n＝2，我們計算出來的電子能量是
E2＝1.07×10－19J
在第三能階n＝3，我們計算出來的電子能量是
E3＝2.41×10－19J
特別留意，因為
En＝n2(h2÷8mL2)＝n2E1
因此 E2＝(2)2(h2÷8mL2)＝4E1
同樣的計算方式得到E3＝9E1
為了要計算激化電子從第一能階到第二能階（第一個基態能階）需要的光的波長，我們首先將計算電子從第一能階跳到第二能階需要的能量是多少？
ΔE＝E2－E1
＝(n22－n12) (h2÷8mL2)
＝(3)(2.68×10－20J)
＝8.04×10－20J
我們將利用以下的方程式計算光的波長
ΔE＝hc/λ
輸入適當的數值，得到波長
λ＝hc/ΔE
＝〔(6.626×10－34Js)(2.9979×108m/s)〕/8.04×10－20J
＝2.47×10－6m
＝2470nm
n 翻譯編寫Steven S. Zumdahl 《Chemical Principles》
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