化學原理啟迪406
John Lawrence Sullivan Men Spring/Summer 2014
1.
【例題】銀晶體的結構是立方最密堆積。銀原子的半徑是1.44Å（144pm）。計算銀固體的密度。
2.
【解題】密度的定義是每單位體積的質量。因此我們必須知道每單位銀晶格的體積與晶格內有多少顆原子。銀晶體的構造是立方最密堆積，每單位晶格為面心立方體。
3.
在立方最密堆積結構，原子沿著晶格的每一面的對角線排列，而非沿著晶格邊線排列。因此，對角線的長度是r＋2r＋r，或4r；r代表銀原子的半徑。
4.
接著，我們要用畢氏定理找出立方晶格的邊長e：
e＋e＝(4r)2
2e2＝16 r2
e2＝8r2
e＝√8
r2＝r√8
因為銀原子的半徑r＝1.44
Å，所以晶格邊長e是
e＝(1.44
Å)( √8)＝4.07
Å
單位晶格的體積是e3，(4.07
Å)
3或67.4
Å3；將單位Å轉換成立方公分
67.4
Å
3×(1.00×10－8cm/
Å)
3＝6.74×10－23
cm3
因為面心立方體的每單位晶格有4個原子，也就是說，在6.74×10－23cm3的體積裡，有4個銀原子
密度Density＝質量mass/體積volume
＝(4
atoms)(107.9g/mol)(1mol/6.022×1023atoms)/6.74×10－23cm3
＝10.6g/cm3
5.
最密堆積是同類原子最有效利用空間的排列方式，這些球型原子佔晶格體積的比例，計算方式如下：
fv＝（volume
occupied by spheres in the unit cell）÷（volum
of the unit cell）
原子們的體積佔晶格總體積的比例＝每單位晶格內球型原子的體積÷每單位晶格的體積
6.
在立方最密堆積，每單位晶格的構造是面心立方晶格，每個晶格內共有4顆原子，所以每單位晶格的原子體積是：
4×4/3πr3
7.
在上述的例題，銀晶體的單位晶格邊長e與銀原子半徑r的比例是：
e＝r√8
8.
單位晶格的體積是e3：
e3＝（r√8）3
9.
原子們的體積佔據單位晶格的比例是：
fv＝｛4×（4/3πr3）｝÷（r√8）3＝0.740
10.
計算出來的結果是，立方最密堆積固體有74.0%的空間為原子所佔據，另外26.0%是開放空間。這個結果同樣適用於六方緊密堆積結構。相較之下，簡單立方堆積的原子密度較低，只佔晶格52.4%的空間。
注：簡單立方堆積結構，每一層的每個原子，都剛好在另一層的每個原子的頂端。
翻譯編寫Steven S. Zumdahl 《Chemical
Principles》；圖片來源／Oocities.org
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